Реферат на тему теория вероятности по математике

Нижегородский Государственный Технический
Университет

Реферат по дисциплине
теория вероятности

Выполнила: Ручина Н.А гр 10МЕНз

Проверил: Гладков В.В

Нижний Новгород, 2011

Теория вероятностей — математическая
наука, позволяющая по вероятностям
одних случайных событий находить
вероятности других случайных событий,
связанных каким-либо образом с первыми.

Утверждение о том, что какое-либо событие
наступает с вероятностью, равной,
например 0,75, ещё не представляет само
по себе окончательной ценности, так как
мы стремимся к достоверному знанию.
Окончательную познавательную ценность
имеют те результаты теории вероятностей,
которые позволяют утверждать, что
вероятность наступления какого-либо
события А весьма близка к единице
или (что то же самое) вероятность не
наступления события А весьма мала.
В соответствии с принципом «пренебрежения
достаточно малыми вероятностями» такое
событие справедливо считают практически
достоверным. Имеющие научный и практический
интерес выводы такого рода обычно
основаны на допущении, что наступление
или не наступление события А зависит
от большого числа случайных, мало
связанных друг с другом факторов.
Поэтому можно также сказать, что теория
вероятностей есть математическая наука,
выясняющая закономерности, которые
возникают при взаимодействии большого
числа случайных факторов

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Для
описания закономерной связи между
некоторыми условиями S и событием
А, наступление или не наступление
которого при данных условиях может быть
точно установлено, естествознание
использует обычно одну из следующих
двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S
наступает событие А. Такой вид,
например, имеют все законы классической
механики, которые утверждают, что при
заданных начальных условиях и силах,
действующих на тело или систему тел,
движение будет происходить однозначно
определённым образом.

б) При условиях S событие А имеет
определённую вероятность P (A / S),
равную р. Так, например, законы
радиоактивного излучения утверждают,
что для каждого радиоактивного вещества
существует определённая вероятность
того, что из данного количества вещества
за данный промежуток времени распадётся
какое-либо число N атомов.

Назовем частотой события А в данной
серии из n испытаний (то есть из n
повторных осуществлений условий S)
отношение h = m/n числа m тех
испытаний, в которых А наступило, к
общему их числу n. Наличие у события
А при условиях S определённой
вероятности, равной р, проявляется
в том, что почти в каждой достаточно
длинной серии испытаний частота события
А приблизительно равна р.

Статистические закономерности, то есть
закономерности, описываемые схемой
типа (б), были впервые обнаружены на
примере азартных игр, подобных игре в
кости. Очень давно известны также
статистические закономерности рождения,
смерти (например, вероятность новорождённому
быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и
1-я половина 20 в. отмечены открытием
большого числа статистических
закономерностей в физике, химии, биологии
и т.п.

Возможность применения методов теории
вероятностей к изучению статистических
закономерностей, относящихся к весьма
далёким друг от друга областям науки,
основана на том, что вероятности событий
всегда удовлетворяют некоторым простым
соотношениям. Изучение свойств
вероятностей событий на основе этих
простых соотношений и составляет предмет
теории вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Р (А) = r/s.    
(2)

Формула (2) выражает так называемое
классическое определение вероятности,
в соответствии с которым вероятность
какого-либо события А равна отношению
числа r исходов, благоприятствующих
А, к числу s всех «равновозможных»
исходов. Классическое определение
вероятности лишь сводит понятие
«вероятности» к понятию «равновозможности»,
которое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных
костей каждый из 36 возможных исходов
может быть обозначен (i, j), где
i — число очков, выпадающее на первой
кости, j — на второй. Исходы
предполагаются равновероятными. Событию
А — «сумма очков равна 4»,
благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2),
(3; 1). Следовательно, Р (A) = 3/36 =
1/12.

Исходя из каких-либо данных событий,
можно определить два новых события: их
объединение (сумму) и совмещение
(произведение).

События А и В называют несовместными,
если их одновременное осуществление
невозможно, то есть если не существует
среди исходов испытания ни одного
благоприятствующего и А и В.

С введёнными операциями объединения и
совмещения событий связаны две основные
теоремы теории вероятностей — теоремы
сложения и умножения вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с
бросанием двух костей событие В —
«сумма очков не превосходит 4», есть
объединение трёх несовместных событий
A2, A3, A4,
заключающихся в том, что сумма очков
равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности
этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме
сложения вероятность Р (В)
равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

то есть вероятность совмещения независимых
событий равна произведению вероятностей
этих событий. Формула (3) остаётся
справедливой, если в обеих её частях
некоторые из событий заменить на
противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели
с вероятностью попадания 0,2 при отдельном
выстреле. Попадания в цель при различных
выстрелах предполагаются независимыми
событиями. Какова вероятность попадания
в цель ровно три раза?

следовательно, искомая вероятность
равна

4·0,0064 = 0,0256.

Pn
(m)
= Cnmpm
(1 —
p) n-m;
    (4)

здесь Cnm обозначает
число сочетаний из n элементов по
m. При больших n вычисления по
формуле (4) становятся затруднительными.

По вероятностям (5) с помощью теоремы
умножения могут быть определены
вероятности Р (Е) для всех исходов
Е составного испытания, а вместе с
тем и вероятности всех событий, связанных
с этим испытанием. Наиболее значительными
с практической точки зрения представляются
два типа составных испытаний:

Основные формулы по теории вероятности

Формулы теории вероятностей.

1. Основные формулы комбинаторики

а) перестановки .

2. Классическое определение вероятности.

— число благоприятствующих событию

— число всех элементарных равновозможных
исходов.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных
событий:

Теорема сложения вероятностей совместных
событий:

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей
независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых
событий:

Комбинаторика — это раздел математики,
в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций, подчиненных
тем или иным условиям, можно составить
из заданных объектов. Основы комбинаторики
очень важны для оценки вероятностей
случайных событий, т.к. именно они
позволяют подсчитать принципиально
возможное количество различных вариантов
развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пример 1. Поясним это правило на простом
примере. Пусть имеется две группы
элементов, причем первая группа состоит
из n1 элементов, а вторая — из n2 элементов.
Сколько различных пар элементов можно
составить из этих двух групп, таким
образом, чтобы в паре было по одному
элементу от каждой группы? Допустим, мы
взяли первый элемент из первой группы
и, не меняя его, перебрали все возможные
пары, меняя только элементы из второй
группы. Таких пар для этого элемента
можно составить n2. Затем мы берем второй
элемент из первой группы и также
составляем для него все возможные пары.
Таких пар тоже будет n2. Так как в первой
группе всего n1 элемент, всего возможных
вариантов будет n1*n2.

Пример 2. Сколько трехзначных четных
чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, если цифры могут повторяться?

Решение: n1=6 (т.к. в качестве первой цифры
можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6),
n2=7 (т.к. в качестве второй цифры можно
взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n3=4
(т.к. в качестве третьей цифры можно
взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).

Пример . Сколько всех четырехзначных
чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?

Решение. Для каждого разряда четырехзначного
числа имеется пять возможностей, значит
N=5*5*5*5=54=625.

Рассмотрим множество, состоящие из n
элементов. Это множество будем называть
генеральной совокупностью.

Определение 1. Размещением из n элементов
по m называется любой упорядоченный
набор из m различных элементов, выбранных
из генеральной совокупности в n элементов.

Число размещений обозначается А, м от
n и вычисляется по формуле:

Пример 5. Сколько существует двузначных
чисел, в которых цифра десятков и цифра
единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно
1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору
и размещению на две разные позиции двух
из пяти различных цифр, т.е. указанных
чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов
по m называется любой неупорядоченный
набор из m различных элементов, выбранных
из генеральной совокупности в n элементов.

Число сочетаний обозначается Cnm и
вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкой из n элементов
называется любой упорядоченный набор
этих элементов.

Число различных перестановок из n
элементов обозначается Pn и вычисляется
по формуле Pn=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг
разных авторов можно расставить на
полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок
семи разных книг. Имеется
P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить
расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных
комбинаций можно посчитать по разным
правилам (перестановки, сочетания,
размещения) причем результат получится
различный, т.к. принцип подсчета и сами
формулы отличаются. Внимательно посмотрев
на определения, можно заметить, что
результат зависит от нескольких факторов
одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества
элементов мы можем комбинировать их
наборы (насколько велика генеральная
совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того,
какой величины наборы элементов нам
нужны.

И последнее, важно знать, является ли
для нас существенным порядок элементов
в наборе. Поясним последний фактор на
следующем примере.

Решение: В этом примере нас не интересует
порядок фамилий в списке комитета. Если
в результате в его составе окажутся
одни и те же люди, то по смыслу для нас
это один и тот же вариант. Поэтому мы
можем воспользоваться формулой для
подсчета числа сочетаний из 20 элементов
по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый
член комитета изначально отвечает за
определенное направление работы. Тогда
при одном и том же списочном составе
комитета, внутри него возможно 5! вариантов
перестановок, которые имеют значение.
Количество разных (и по составу, и по
сфере ответственности) вариантов
определяется в этом случае числом
размещений из 20 элементов по 5.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно
представить себе как бросание точки
наудачу в некоторую геометрическую
область G (на прямой, плоскости или
пространстве). Элементарные исходы –
это отдельные точки G, любое событие –
это подмножество этой области, пространства
элементарных исходов G. Можно считать,
что все точки G «равноправны» и тогда
вероятность попадания точки в некоторое
подмножество пропорционально его мере
(длине, площади, объему) и не зависит от
его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А
определяется отношением:

Пример. На плоскость, разграфленную
параллельными полосами шириной 2d,
расстояние между осевыми линиями которых
равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r
(

Решение. В качестве элементарного исхода
этого испытания будем считать расстояние
x от центра круга до осевой линии ближайшей
к кругу полосы. Тогда все пространство
элементарных исходов – это отрезок

.
Пересечение круга с полосой произойдетв
том случае, если его центр попадет в
полосу, т.е.

, или будет находится от края полосы на
расстоянии меньшем чем радиус, т.е.

Для искомой вероятности получаем:

Классификация событий на возможные,
вероятные и случайные. Понятия простого
и сложного элементарного события.
Операции над событиями. Классическое
определение вероятности случайного
события и её свойства. Элементы
комбинаторики в теории вероятностей.
Геометрическая вероятность. Аксиомы
теории вероятностей.

Допустим, что некоторый простой закон подтверждается для большого числа случаев. Является ли это просто случайным совпадением, или все-таки это — закономерность? Получается, что ученый часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание «вычислить вероятность» содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?

Предыстория теории вероятностейВозникновение теории вероятностей как наукиЯ. Бернулли «Искусство предположений»Петербургская математическая школаСовременный период развития теории вероятностей

1 файл

Министерство образования и науки, культуры и спорта Украины

Одесский национальный экономический университет

по теории вероятностей

студентка 2-го курса ФЭФ

преп. Мискевич Ю.А.

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

Теория вероятностей (теория вероятности) — раздел математики, изучающий случайность. Современная трактовка данной дисциплины основана на теории меры. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания. Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ недетерминированных (вероятностных) алгоритмов.

В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.

Но античная наука не дошла до выделения этого понятия. В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказывала влияние на формирование понятия вероятности.

В целом в средневековье мы наблюдаем только разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.

Возникновение теории вероятностей как науки.

К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.

Ферма и Паскаль действительно стали основателями математической теории вероятностей. Блез Паскаль (1623—1662) родился в Клермоне. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

Как бы там ни было, де Мере задал Паскалю следующий вопрос: каким образом разделить старку между игроками в случае, если игра не была окончена? Решение этой задачи совершенно не поддавалось всем известным до того времени математическим методам.

Здесь предстояло решить вопрос, не зная, который из игроков мог бы выиграть в случае продолжения игры? Ясно, что речь шла о задаче, которую надо было решить на основании степени вероятности выигрыша или проигрыша того или другого игрока. Но до тех пор ни одному математику еще не приходило в голову вычислять события только вероятные. Казалось, что задача допускает лишь гадательное решение, то есть что делить ставку надо совершенно наудачу, например, метанием жребия, определяющего, за кем должен остаться окончательный выигрыш.

К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

Абрахам де Муавр— английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук. Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Теория вероятности — это отрасль математики, в которой исследуются законы случайных явлений: Случайные события, случайные переменные, их свойства и операции над ними.

Появление теории вероятностей как науки относится к средневековью и к первым попыткам математического анализа азартных игр (орлы, кости, рулетка). Первоначально его базовые понятия не имели строго математической формы, их можно было трактовать как некие эмпирические факты, как свойства реальных событий, и они формулировались в визуальных представлениях. Яков Бернулли внес важный вклад в теорию вероятности: он предоставил доказательства закона больших чисел в простейшем случае независимых тестов. В первой половине 19 века теория вероятности начала применяться для анализа ошибок наблюдения; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в это дело внесли русские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. В результате теория вероятностей приняла строгую математическую форму и в конечном итоге стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события основываются на детерминистических законах. Теория вероятности исследует эти законы.

Тест представляет собой выполнение определенного набора условий, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. В этом случае набор условий включает случайные факторы, реализация которых приводит к неоднозначности результата теста для каждого теста.

Достоверный (всегда результат теста).

Невозможно (никогда не бывает).

Столь же вероятно (та же вероятность возникновения), менее вероятно и более вероятно.

Случайность (может произойти или не произойти в результате теста).

Например: Когда кубик брошен, невозможное событие — кубик стоит на краю, случайное событие — падение с любого края, случайность — кубик стоит на прямой кромке.

Определенный результат теста называется элементарным событием.

В результате проверки происходят только элементарные события.

Сочетание всех возможных, различных, специфических результатов испытаний называется элементарным пространством событий.

Набор элементарных событий — это пространство элементарных событий.

Сложное событие — это произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное тестовое событие возникает тогда и только тогда, когда тест приводит к элементарному событию, принадлежащему сложному событию.

Таким образом, если в результате теста может произойти только одно элементарное событие, то все сложные события, составляющие эти элементарные события, происходят.

Например: Тест — это бросок кубиков.

Введите следующие описания:

Классическое определение вероятности

Если пространство элементарных событий состоит из их конечного числа, то все элементарные события равны, т.е. ни одно из них не может быть предпочтительным перед тестом, поэтому их можно считать равными.

Если элементарные события равны и, следовательно, равны, то вероятность наступления произвольного события равна доле, числитель которой равен количеству элементарных событий, содержащихся в спецификации, и знаменателем которой является общее количество элементарных событий. Такое определение вероятности впервые дано в работах французского математика Лапласа и считается классическим.

Вероятное событие находится между нулем и единицей.

2o P(E)=1 Вероятность надежного события равна единице.

3o P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может закончиться одним из возможных исходов, все из которых одинаково вероятны.

Бросаются сразу три монеты.

Определите вероятность этого:

Частота наступления события

Пространство элементарных событий должно естественным образом состоять из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных результатов тестирования рассматриваются многие подмножества пространства элементарных событий и невозможное событие V.

Назовем систему этих событий F. Возьмем случайное событие A F. Выполним серию тестов в количестве n, где n — это количество тестов в каждом из которых произошло событие A.

Частота наступления события A в n экспериментах — это отношение числа наступлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Разрешите результат теста для случая А. Подводя итог, можно сказать, что в этом тесте произошло событие Аи. Так как все события несовместимы парами, это означает, что никакое другое событие Aj (i j ) не может произойти в этом тесте.

С помощью теории вероятности описываются только те те тесты, для которых сделано следующее предположение: Для каждого события А частота, с которой это событие происходит в бесконечной серии тестов, имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события А.

Поэтому, когда мы рассматриваем вероятность возникновения произвольного события, то понимаем это число следующим образом: Это частота возникновения события в бесконечной (достаточно длинной) серии тестов.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частоты не увенчалась успехом, а количество тестов нацелилось на бесконечность. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности на основе этого определения, она не была принята из-за большого количества внутренних логических противоречий.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проблемами, для которых есть не одно, а несколько различных решений. Для принятия правильных решений очень важно не пропустить ни одного из них. Для этого необходимо просмотреть все возможные варианты или, по крайней мере, рассчитать их количество. Такие задачи называются комбинаторными.

Но прежде чем мы обратимся к задаче, мы должны познакомиться с комбинаторными элементами.

Однако существует единый подход к решению разнообразных комбинаторных задач путем создания специальных правил. Внешне эта схема напоминает дерево, отсюда и название — дерево возможных вариантов. Если дерево построено правильно, то ни один из возможных вариантов решения не теряется.

Рассмотрим это в качестве примера для следующей задачи: Сколько двухзначных чисел я могу сформировать из цифр 1, 4 и 7?

Вероятности, определяемые измерениями, называются геометрическими.

Существует целый ряд задач, где, как говорят математики, определение вероятности случайного события может быть подведено по-разному по геометрическим соображениям.

Операции по событиям

С-событие называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в A, так и в B

Различие событий A-B называется событием C, которое состоит из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

Событие называется противоположным событию A, если оно соответствует двум характеристикам.

События A и B называются несовместимыми, если они никогда не могут произойти в результате одного и того же теста и если они не имеют одинаковых элементарных событий.

События A и B считаются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого.

Заключение

Теория вероятности применялась не только в математике, но и в таких науках, как физика и статистика.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A0 — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5.

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B1,2 = B1 + B2 (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие BЧ = B2 + B4 + B6 (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A1 — на 1-й монете выпадет орел;

Ā1 — на 1-й монете выпадет решка;

A2 — на 2-й монете выпадет орел;

Ā2 — на 2-й монете выпадет решка.

событие A1A1 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā2Ā2 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A1Ā2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā1A2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Цель работы: донести до слушателя основные сведения об этой теории, показать, как правильно производить расчёты, как нужно рассуждать при решении задачи.

Задачи работы: рассказать о принципах теории, формулах вычисления вероятностей, интересных фактах и практическом применении.

Чем занимается теория вероятностей?

Каковы её основные принципы?

С какими другими разделами математики граничит?

Где она применяется?

Актуальность исследования состоит в том, что теория вероятностей имеет практическое применение, в некоторых случаях может встретиться в обыденных ситуациях, таких как участие в лотерее, розыгрыш призов и пр.

Объект исследования: теория вероятностей как раздел математики.

Методы исследования: просмотр сайтов в Интернете, чтение книги, применение собственных знаний, полученных ранее.

Теория вероятностей – один из разделов математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр, таких как кости, рулетка и др.

Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Также важный вклад в развитие теории вероятностей внесли Якоб Бернулли, Пьер-Симон Лаплас, Симеон Пуассон и некоторые другие. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Якоб Бернулли Пьер-Симон Лаплас Симеон Пуассон

27 декабря 1654 — 16 августа 1705 23 марта 1749 — 5 марта 1827 21 июня 1781, — 25 апреля 1840

Суть этого раздела математики

Теория вероятностей в общем виде показывает, каковы шансы определенного случая (на математическом языке такие случаи называются благоприятными исходами ). Например, у нас есть монета с орлом и решкой. Какова вероятность того, что, подкинув монету, выпадет орёл? Очевидно, что ½. А какова вероятность того, что выпадет решка? Опять же, ½. Как видим, шансы выпадения орла и решки равны. В таком случае говорят, что события равновероятны. В общем виде равновероятными событиями называются такие события, которые могут случиться с одинаковой вероятностью. Вот еще пример: игральная кость. Если она является правильной фигурой, и её грани отличаются лишь количеством очков, то вероятность выпадения любого числа равна 1/6.

Результаты представлены в таблице:

Как мы знаем, ½ = 50%. Из таблицы видно, что с бОльшим числом бросков отношение выпавших решек и орлов к общему количеству бросков стремится к 50%, то есть к ½.

Комбинаторика и формулы

Определение комбинаторики как раздела математики довольно трудное для понимания, поэтому приведу несколько примеров, чтобы стало понятно, чем же она занимается. Также разберём некоторые формулы, которые помогут нам в дальнейшем.

Пример 1. У нас есть 2 книги, назовём их А и В. Сколько существует способов их размещения по порядку вертикально на пустой полке? Очевидно, можно поставить сначала А, потом В. Или же сначала В, потом А. А еще как-то можно? Нет, больше никак. Значит, существует 2 способа их размещения. Идём дальше.

Пример 3. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколько существует вариантов первых пришедших к финишу троек? Будем считать, что никакие 2 и более участников не пришли одновременно, и все дошли до финиша.

Где А – искомое число благоприятных исходов; n 1, n 2, n k – количество возможных отдельных событий (под каждым множителем стоит отдельное событие).

По формуле получаем: А (троек первых мест) = 5*4*3 = 60

В приведённых выше примерах порядок участников на пьедестале имел значение. Нам было важно, кто будет первым, вторым и третьим. Однако существуют ситуации, когда порядок выбора не важен, и на эти ситуации тоже есть своя формула. Снова для начала рассмотрим пример, затем – формулу.

Сократим числитель и знаменатель, получим 14*13*12*11 / 4*3*2*1

Продолжим преобразование: 7*13*11 = 1001

Как видим, число получилось намного меньше того, которое мы рассчитали вначале. Поэтому, следует различать случаи в комбинаторике, которые называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ и СОЧЕТАНИЯМИ. Размещение требует учёта порядка каких-либо предметов (под этим словом будем понимать элементы множества , множество же – совокупность каких-либо предметов, объединённых общим свойством ); сочетание не требует порядка. Как видно из прошлого примера, это очень важно понимать. А чтобы выяснить, какой из этих случаев содержится в задаче, нужно просто немного подумать, логически поразмышлять: нужно ли учитывать порядок или нет ?

А теперь перейдём к формуле. Приводить ещё один пример не стану, остановимся на этом.

Итак, чем же занимается комбинаторика? Комбинаторика занимается вычислением (нахождением) возможных исходов события. Это может помочь находить вероятности каких-либо исходов.

Как подсчитать вероятность?

Для того чтобы найти вероятность какого-либо случая, нужно тоже применять некоторые формулы. Но для начала разберём свойства в теории вероятностей, принимаемые как аксиомы.

1) Любая вероятность, принадлежащая данному множеству, больше либо равна 0.

2) Вероятность достоверного события равна 1.

3) Для совокупности несовместных событий из множества исходов случайного эксперимента справедливо следующее равенство:

где P ( S k ) – вероятность какого-либо события, S 1 , S 2 , S n – события какого-либо эксперимента.

Разберём эти аксиомы.

Первая гласит о том, что любая вероятность события либо равна 0, то есть событие невозможно, либо больше 0, т.е. событие может случиться.

Вторая говорит о том, что событие, которое произойдёт в абсолютно всех экспериментах, имеет вероятность, равную 1.

Третья аксиома о том, что вероятность некоторых несовместных событий (т.е. тех, которые не могут случиться в одних и тех же экспериментах одновременно) можно определить как сумму отдельных вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что, подбросив игральный кубик, выпадет либо 1 очко, либо 2 очка, равна сумме отдельных вероятностей этих исходов:

P (1 или 2 очка) = P (1 очко) + P (2 очка) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Исходя из этих аксиом, можно найти и другие важные свойства:

1) Вероятность какого-либо события равна 1 минус вероятность противоположного ему события:

где S a и S b – противоположные события.

2) Вероятность любого события меньше либо равна 1, так как достоверное событие обладает наибольшей вероятностью по определению, а оно равно 1.

3) Вероятность невозможного события равна 0:

P ( ) = 0,

где — невозможное событие.

4) Для двух произвольных событий определённого множества исходов какого-либо эксперимента справедливо следующее равенство:

где S 1 и S 2 – произвольные события, P ( S 1 ∪ S 2 ) – вероятность того, что произойдёт либо S 1 , либо S 2, P ( S 1 ⋂ S 2 ) – вероятность того, что эти два события произойдут одновременно.

Теперь, зная аксиомы и свойства событий и вероятностей, перейдём к рассмотрению примеров и формул, с помощью которых мы будем находить искомые вероятности.

Пример 1. Снова возьмём игральный кубик. Вероятность того, что выпадет 1 очко (равно как и 2 или 3 или 4 и т.д.), равна 1/6. Как мы нашли это число? Разделили число благоприятных исходов (а именно 1) на число всех возможных исходов (их 6). Чтобы понять, почему производились такие расчёты, давайте снова нарисуем чертёж. Мы знаем, что все исходы броска кубика равновероятны. Помним, что вероятность достоверного события равна 1. Получается, нахождение вероятности сводится к решению уравнения: 6х=1, где х – искомая вероятность. Отсюда х = 1/6.

Чтобы не прибегать к составлению уравнения и решению его, выведем формулу для подсчёта вероятности:

где n – число благоприятных исходов

m – число всех возможных исходов.

ак видим, нам нужно найти вероятность выпадения ОДНОЙ из ВСЕХ сторон, т.е. число благоприятных исходов равно 1, всех возможных – 6 (так как сторон в кубике 6). Отсюда получаем ту же самую вероятность, 1/6.

Если мы захотим рассчитать вероятность для выпадения либо 1, либо 2, либо 3 очков, можем сделать это с помощью тех же формул:

2) 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Напомню, формулы из 3-ей аксиомы действует в том случае, если события НЕ могут произойти одновременно.

Итак, мы разобрали основные формулы нахождения общего числа исходов и вероятностей. С их помощью можно решать различные задачи, не забывая при этом, в каком случае мы применяем тут или иную формулу.

Как мы знаем, страховые компании выплачивают деньги застрахованному лицу, если произошёл какой-либо несчастный случай. Сумма, которую должен заплатить человек страховой компании и застраховать тем самым что-либо или кого-либо, рассчитывается определённым образом. Основой, на которую опираются страховые компании, является статистика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических данных. Эти данные несут информацию о том, сколько за прошедшее время произошло несчастных случаев одного вида (например, аварий, ДТП и пр.), вероятность того, что они произойдут и некоторые другие сведения. Таким образом, для подсчёта стоимости страхового полиса и компенсации, выплачиваемой страховой компанией, требуются накопленные ранее знания о случившихся несчастных случаях, о теории вероятностей и т.д.

Также применение теории вероятностей, статистики, различных таблиц используется, как я уже сказал, в медицине, в механике и инженерном деле. Например, таблицы смертности в медицине, срок полезного функционирования детали или механизма в механике, инженерии. Как видим, математика может пригодиться в вышеприведённых сферах государства, промышленности и т.д.

Парадокс Монти Холла

Вы попали в финал телевизионного конкурса, и перед вами – три закрытые двери. За одной из них – главный приз, автомобиль, за двумя другими – козы. Нужно выбрать одну из трёх дверей. Когда вы указали на одну из дверей, ведущий должен открыть одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Он даёт вам шанс изменить выбор. Вы можете воспользоваться этим, а можете оставить своё решение без изменения. Как нам поступить, чтобы увеличить шансы на выигрыш? Или же они не изменятся, и от нашего решения вероятность не зависит?

Сперва покажется, что вероятность одинакова и равна ½. Рассуждения таковы: так как перед нами 2 закрытых дверей, и за одной из них находится приз, значит, мы можем с одинаковой вероятностью как выиграть, так и проиграть (не будем принимать козу за выигрыш). Но такой ход мыслей неверен. Рассуждения с математической точки зрения следующие: перед нами 3 двери, на каждую приходится вероятность выигрыша по 1/3. Когда мы выбираем дверь, ведущий показывает, за какой дверью приза нет. Значит, если он открыл именно эту дверь, то, скорее всего, приз находится за той, которую он не открыл. На эту невыбранную закрытую дверь приходится вероятность 2/3. Чтобы лучше понять эту ситуацию интуитивно, изменим количество дверей. Пусть их будет не 3, а 1000. Мы выбрали одну из них, вероятность победы – 1/1000. Ведущий убрал 998 дверей. Скорее всего, приз окажется за той дверью, которую он не открыл. Сначала была вероятность выигрыша 1/1000, теперь, изменив выбор, можно увеличить её на 998/1000. Я думаю, это число показывает, что выгоднее изменить выбор, нежели оставить. Напомню, он открывает только ту дверь или те двери, которые выбраны не были, и за которыми находятся коза или несколько коз. Для подтверждения этих рассуждений можно провести подобный опыт со своим напарником: взять, к примеру, 3 коробка от спичек, 2 монеты по 50 копеек и 1 монету в 1 рубль (можно взять и другие, лишь бы 2 были одинаковы, а 1 – либо больше, либо меньше). Один человек играет роль ведущего, другой – участника. Далее правила ясны: ведущий наугад располагает монеты под коробками, участник не знает, где какая монета. Игрок выбирает любой из них. Ведущий убирает тот коробок, под которым меньшая по достоинству монета, и который не был выбран игроком. Далее участник меняет свой выбор. Если он выиграл, на листок записать букву В, если проиграл – букву П. Желательно проводить этот опыт большое число раз (вспомните закон больших чисел: чем больше количество проводимых экспериментов, тем ближе практическая вероятность будет к теоретической). Лично я со своим папой однажды провёл его 50 раз. Получилось так, что выиграл 31 раз, а проиграл – 19. Не стоит забывать, что монеты желательно располагать в случайном порядке под коробками после проведения очередного опыта.

Парадокс о днях рождения

В классе учатся 23 человека. Какова вероятность того, что хотя бы 2 ученика этого класса родились в один и тот же день?

В очередной раз интуиция подсказывает, что вероятность крайне мала. Но на самом деле это не так. Давайте разберёмся.

Примем, что число дней в году равно 365. Рассмотрим общую ситуацию для N человек, N не больше 365.

Напомню, что для нахождения вероятности нужно число благоприятных исходов разделить на число всех возможных исходов. Поэтому, вероятность того, что все ученики будут отмечать дни рождения в разные дни, равна

. Но нас интересует вероятность рождения как минимум 2 учеников в одинаковые дни. Так как найденная нами вероятность противоположна той, которую мы собираемся найти, то нам нужно из 1 вычесть это выражение, подставить вместо N число 23 и произвести расчёты.

При N = 23 вероятность равна 0,507, т.е. 50,7 %. Именно при этом значении вероятность больше 1/2. При N = 30 она становится больше 70 %, а при N = 45 она примерно равна 94 %. Не так уж всё и очевидно на первый взгляд!

Теория вероятностей – довольно интересный, хотя в некоторых случаях и непростой для понимания, раздел математики. Он связан со многими важными для общества отраслями: медициной, страхованием, статистикой и др. Для понимания теории вероятностей нужно владеть азами некоторых других разделов математики, таких как комбинаторика, теория множеств.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку.

ВведениеОсновные понятия теории вероятностейИстория возникновения Теории вероятностей.ПримерыСложные вероятности. Теоремы сложения .Этапы развития теории вероятностей:Роль мошенничества в истории теории вероятностей(Дэвид Бэллхауз)Вывод