Олимпиадные задачи по геометрии 7 класс

Всероссийская олимпиада по геометрии для учеников 7 класса

Вопрос № 1

Вопрос № 2

Вопрос № 3

Вопрос № 4

Вопрос № 5

Вопрос № 6

Вопрос № 7

Вопрос № 8

Вопрос № 9

Вопрос № 10

Образцы выдаваемых документов

I вариант II вариант 1) Определение хорды 1) Определение окружности 2 ) Определение радиуса 2 ) Определение диаметра

I вариант II вариант 4) Определение серединного перпендикуляра 4) Определение серединного перпендикуляра

I вариант II вариант 5) Какая окружность называется описанной около треугольника 5) Какая окружность называется вписанной в треугольник

Решение задач по теме «Окружность»

1) Радиус окружности с центром в точке О равен 7 см, угол ВАО равен 60°. Найти хорду АВ. 2) Из точки С к окружности с центром в точке О проведена касательная СЕ, точка Е лежит на окружности. Известно, что СО = 18 см, угол СОЕ равен 60°. Найти радиус ОЕ.

3) Из точки К к окружности с центром в точке О проведены касательные КМ и К N (точки М и N лежат на окружности), длина отрезка КО 10 см, угол МО N равен 120°. Найти радиус окружности.

4) СВ – касательная, угол С равен 20°. Найти углы ∆ АВС. А С О В

5) Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника на отрезки 3 см и 5 см, считая от основания. Найти периметр треугольника.

Домашнее задание Рабочая тетрадь № 328 – 331

21 ОКРУЖНОСТЬ Геометрия 7 класс Урок по теме: «Задачи на построение. Окружность»

Проверка: 1. I признак 4. I признак 5. II признак 7. III признак 10. II признак 11. I признак 2. II признак 3. I признак 6. II признак 8. II признак 9. II признак 12. II признак Оценка: нет ошибки – «5» 1 ошибка – «4» 2 ошибки – «3»

Способы построения окружности 21 ОКРУЖНОСТЬ

§ 4 Задачи на построение 21 Окружность Опред. Сп.постр.

21 ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

21 ОКРУЖНОСТЬ 21 ОКРУЖНОСТЬ (O,r) или (O,R) Любой отрезок, соединяющий какую-нибудь точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности Отрезок соединяющий две точки окружности, называется ее хордой Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ С 1 N D 1 M O C D A B T S P

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ N M C D A B AB, CD, MN

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ A B AB, CD, MN O AB

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ O A B AB, CD, MN AB OA, OB, OP P

§ 4 Задачи на построение 21 Окружность Домашнее задание: П.21(определения); № 145 № 146

Тест ВЕРНО — НЕВЕРНО

Определите: верно или неверно данное утверждение 1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Определите: верно или неверно данное утверждение 2. Треугольник называется равнобедренным, если все его стороны равны.

Определите: верно или неверно данное утверждение 3. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определите: верно или неверно данное утверждение 4. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника и точку противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Определите: верно или неверно данное утверждение 5. Если треугольники равны, то равны все их элементы.

Определите: верно или неверно данное утверждение 6. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники называются равными.

Определите: верно или неверно данное утверждение 7. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Определите: верно или неверно данное утверждение 8. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это одна из древнейших геометрических фигур. В Древней Греции она считалась венцом совершенства. Действительно в каждой своей точке эта фигура “устроена” одинаково, что позволяет ей как бы двигаться “по себе”. На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Представление об этой фигуре даёт линия движения модели самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод колеса. Для изображения этой фигуры необходим специальный чертежный прибор – циркуль.

Доказать: AD = BC .

Доказать: АВ = ВС.

Доказать: 1 = 2.

Найти угол АОВ.

Окружность Центр окружности Хорда Диаметр Радиус Дуга окружности

Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.

На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠АВС = 25°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС известно, что АС = 12, ВС = 5, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠АОВ = 140°. Длина меньшей дуги АВ равна 98. Найдите длину большей дуги АВ.

В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Сторона АС треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности. Найдите угол С, если ∠А = 74°. Ответ дайте в градусах.

В угол С величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, где О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 67°. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82°, а угол B равен 89°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

К двум окружностям с центрами в точках О1, О2, касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС (В и С — точки касания). Докажите, что угол ВАС — прямой.

Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры АА1 и ВВ1 на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка А1В1.

Самостоятельные работы по геометрии в 7 классе с ответами и решениями для УМК Атанасян и др. (3 уровня сложности по 2 варианта). В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». Геометрия 7 класс Самостоятельные работы.

Атанасян 7. Поурочные планы
  Атанасян 7. Контрольные работы

К Главе I. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1) к Уроку 5. Решение задач по теме «Измерение отрезков»

Самостоятельная работа № 1 + Ответы

2) к Уроку 8. Перпендикулярные прямые. Подготовка к контрольной № 1.

Самостоятельная работа № 2 + Ответы

К Главе II. ТРЕУГОЛЬНИКИ

3) к Уроку 14. Решение задач на применение первого признака равенства треугольников.

Самостоятельная работа № 3 + Ответы

4) к Уроку 17. Решение задач по теме «Равнобедренный треугольник»

Самостоятельная работа № 4 + Ответы

5) к Уроку 19. Решение задач на применение второго признака равенства треугольников.

Самостоятельная работа № 5 + Ответы

6) к Уроку 21. Решение задач на применение третьего признака равенства треугольников.

Самостоятельная работа № 6 + Ответы

7) к Уроку 26. Решение задач на применение признаков равенства треугольников. Подготовка к контрольной № 2.

Самостоятельная работа № 7

К Главе III. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

8) к Уроку 33. Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых».

Самостоятельная работа № 8 + Ответы

9) к Урокам 36-39. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Подготовка к контрольной № 3.

Самостоятельная работа № 8-Б

Задачи с ответами и решениями

Самостоятельная работа № 9 + Ответы

К Главе IV. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

10) к Уроку 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Самостоятельная работа № 10 + Ответы

11) к Уроку 54. Прямоугольный треугольник. Решение задач.

Самостоятельная работа № 11 + Ответы

12) к Уроку 58. Построение треугольника по трем элементам. Решение задач. Подготовка к контрольной № 5.

Самостоятельная работа № 12 + Ответы

К Главе V. ПОВТОРЕНИЕ

13) к Уроку 63. Повторение темы «Начальные геометрические сведения». Подготовка к итоговой контрольной за 7 класс.

При прохождении каждой темы предусмотрено 4 самостоятельные работы, состоящие из заданий трех уровней сложности, которые определяются или учителем, или самим учащимся (при этом число экземпляров вариантов должно быть достаточным). Разумеется, учащиеся должны знать о различной сложности вариантов и критериях оценки контрольной работы. Варианты 1, 2 — самые простые, варианты 3, 4 — сложнее и варианты 5, 6 — самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко.

Вы смотрели: Самостоятельные работы по геометрии в 7 классе с ответами и решениями для УМК Атанасян и др. (3 уровня сложности по 2 варианта). В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». Геометрия 7 класс Самостоятельные работы.

Краткий конспект учебника по геометрии за 7 класс (А.Г.Мерзляк и др.) в 4-х частях. Цитаты из учебника помогут учащимся, которые сдали учебник в библиотеку при переходе в старший класс, быстро освежить знания, полученные в 7 классе. Часть 4-я.

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура. Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Определение.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

§ 21. Описанная и вписанная окружности треугольника

§ 22. Задачи на построение

При построении фигур в геометрии принимают такие правила:
1) все построения выполняются только с помощью циркуля и линейки без делений;
2) с помощью линейки можно через заданную точку провести произвольную прямую, а также через заданные две точки А и В провести прямую АВ.
3) с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку.

§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

ИТОГИ ГЛАВЫ 4.

Геометрическое место точек (ГМТ)
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Серединный перпендикуляр отрезка как ГМТ
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Биссектриса угла как ГМТ
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Окружность
Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.

Круг
Кругом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Хорда окружности
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности.

Диаметр окружности
Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром.

Свойства окружности
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Диаметр окружности, делящий пополам хорду, отличную от диаметра, перпендикулярен этой хорде.

Касательная к окружности
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Свойство касательной
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Признак касательной к окружности
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Окружность, описанная около треугольника
Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр окружности, описанной около треугольника
Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр окружности, вписанной в треугольник
Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения его биссектрис.

Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 4». Выберите дальнейшие действия:

Ключевые задачи по теме
Прямая. Окружность. Угол

Наглядная геометрия 7 класс. задачи по теме Прямая. Окружность. Угол с ответами и решениями. Простые вопросы по теме. Непростые вопросы.

Вначале рассмотрим две главные задачи, которые встречаются практически во всех контрольных работах. Задачи эти очень простые. Но важно при решении сослаться на основное свойство измерения отрезков или углов.

На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка М. Отрезок AM на 6 см больше отрезка МВ. Найдите длину отрезка МВ.

Решение. По основному свойству измерения отрезков AM + МВ = АВ. Пусть МВ=х см, тогда AM = (х+6) см. Получим х + (х+6) = 24,2х = 18, х=9.

Ответ: МВ = 9 см.

. Внутри угла ВАС, равного 60°, из его вершины проведен луч AM. Угол ВАМ в 2 раза больше угла MAC. Найдите величину угла MAC.

Решение. По основному свойству измерения углов ∠BAM+ ∠MAC = ∠BAC. Пусть ∠MAC = х, тогда ∠BAM = 2х.
Получим х + 2х = 60°, 3х = 60°, х = 20°.

Ответ: ∠MAC = 20°.

Примечание. Возможен другой способ записи решения, где вместо ∠MAC = х пишут ∠MAC = х°.
∠MAC = х°, ∠BAM = 2х°; х + 2х = 60, 3х = 60, х = 20; ∠MAC = 20°.

. Дано: О — центр окружности; АВ = 30 см, АК: КО = 3:2. Найти: КВ.

Решение. АО = ½ АВ = 15 см — радиус равен половине диаметра.
АК — 3 части, КО — 2 части, АО — 5 частей. На 1 часть приходится 15:5 = 3 (см).
КО = 2 • 3 = 6 (см), ОВ = АО = 15 см, КВ = КО + ОВ = 6 + 15 = 21 (см).

Ответ: 21 см.

Примечание. Второй способ записи решения: АК = 3х см, КО = 2х см, АВ = 10х см. По условию 10х = 30, тогда х = 3. КВ = КО + ОВ = 7х = 21 см.

. Дано: ∠1 + ∠2 = 140°. Найти: ∠3.

Решение. ∠1 = ∠2 как вертикальные; ∠1 = 140° : 2 = 70°. ∠1 + ∠3 = 180° как смежные; ∠3 = 180° — 70° = 110°.

Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Дано: ОК — биссектриса ∠AOC, ОМ — биссектриса ∠BOC.
Доказать: ∠KOM = 90°. 1л О в .

Доказательство. (Идея доказательства: сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма половинок двух смежных углов 180° : 2 = 90°.)
∠AOC + ∠BOC = 180° как смежные;
∠СOM = ½ ∠COB по определению биссектрисы;
∠COK = ½ ∠COA по определению биссектрисы;
∠COM + ∠COK = ½ (∠COA + ∠COB) = ½ • 180°=90°.

Примечание. Мы показали возможное оформление задачи на контрольной работе. При решении задач на уроке и дома (по согласованию с учителем) можно делать менее строгие записи. Это значительно экономит время. Например, возможно такое «рабочее» оформление решения:
2х + 2у = 180° (свойство смежных углов);
х + у = 90°.

Простые вопросы по теме

22* Два: 1) одна сторона общая; 2) две другие — противоположные лучи.

23* «Если даны два смежных угла, то их сумма равна 180°». Дано: два смежных угла. Нужно доказать: их сумма равна 180°.

24.* «Если сумма двух углов 180°, то эти углы смежные». Это утверждение неверно. Например, любые два угла квадрата в сумме дают 180°, но они не являются смежными.

27* «Если углы вертикальные, то эти углы равны». Дано: два вертикальных угла. Нужно доказать: эти углы равны.

28* «Если два угла равны, то они вертикальные». Это утверждение неверно. Два любых угла прямоугольника равны, но они не являются вертикальными.

30* Ответ: 45. Из них 9 одинарных, 8 двойных, 7 тройных, 6 четверных, 5 пятерных, 4 шестерных, 3 семерных, 2 восьмерных и 1 данный отрезок, т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Можно рассуждать иначе: каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками девять отрезков. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90 : 2 = 45 (2 образования — относительно одного конца, а затем относительно второго конца отрезка — дают 1 отрезок).

Если точек 100, то количество отрезков составит 100 • 99 / 2 = 4950. Если точек n, то образуется n(n — 1)/2 отрезков.

31 .* Ответ: 21. Из них 6 одинарных, 5 двойных, 4 тройных, 3 пятерных, 2 шестерных и 1 данный угол. Можно рассуждать иначе: каждый из 7 лучей образует с оставшимися 6 лучами угол. Всего таких образований 7.6 = 42. Самих углов в два раза меньше: 42:2 = 21.

Если внутри провести 100 лучей, то углов будет 102 • 101 / 2 = 5151. А если n лучей, то всего образуется (n + 2)(n +1)/2 углов.

Примечание. Мы не считали углы, большие 180°.

32* Каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками отрезок. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

33* Любая из 10 прямых пересекает каждую из 9 остальных в некоторой точке. Всего для данной прямой 9 точек пересечения. И для каждой из 10 прямых будет 9 точек пересечения с оставшимися 9 прямыми. Получаем 10-9 = 90 точек пересечений. Но при этом каждая точка засчитана дважды: относительно одной, а затем относительно второй прямой. Поэтому всего точек пересечения в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.