Определение производной 10 класс мордкович презентация

.

Содержание
1. Понятие производной.
2. Алгоритм нахождения производной.
3. Примеры.
4. Таблица производных.
5. Физический смысл производной.
6. Правила нахождения производных.
7. Непрерывность функции.
8. Геометрический смысл производной.

Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo
1. f x o kxo b
2. f xo Δx k xo Δx b
3. Δf f x o Δx f x o k x o Δx b kxo b
kxo k Δx b kxo b k Δx
Δf
k Δx
4.
k
Δx
Δx
Δf
5. lim
lim k k
Δx 0 Δ x
Δx 0
kx b
k

Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo
1. f xo С
2. f xo Δx С
3. Δf f xo Δx f xo С С 0
Δf
0
4.
0
Δx Δx
Δf
5. lim
lim 0 0
Δx 0 Δ x
Δx 0
С 0

Примеры

3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
1. f xo xо
2
2. f xo Δx xo Δx
2
3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o
2
2
x о2 2 x o Δx Δx 2 x о2 2 x o Δx Δx 2
2x o Δx Δx 2 Δx 2 x o Δx
Δf
4.
2 x o Δx
Δx
Δx
Δx
Δf
5. lim
lim 2 x o Δx 2 x o
Δx 0 Δx
Δx 0
x 2х
2

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo
1. f xo xo
2. f xo Δx x o Δx
3. Δf f xo Δx f xo xo Δx xo
x o Δx x o
x o Δx x o
x o Δx x o
x o Δx x o
x o Δx x o
Δf
4.
Δx Δx
x o Δx
x
2
o
x o Δx x o
Δx
x o Δx x o
Δx
x o Δx x o
2
1
x o Δx x o

Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo
Δf
4.
Δx Δx
Δx
x o Δx x o
1
x o Δx x o
Δf
1
1
5. lim
lim
2 x
Δx 0 Δx
Δx 0 x Δx
x
o
o
o
x
1
2 х

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
1
1. f x o
xо
1
2. f x o Δx
x o Δx
1
1
3. Δf f x o Δx f x o
x o Δx x o
x o x o Δx
Δx
2
x o x o Δx
x о x o Δx
Δf
Δx
1
4.
2
2
Δx Δx x о x o Δx
x о x o Δx

Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
Δf
Δx
1
4.
2
2
Δx Δx x о x o Δx
x о x o Δx
Δf
1
1
2
5. lim
lim 2
Δx 0 Δx
Δx 0 x x Δx
xо
o
о
1
1
2
х
х

Таблица производных

f (x)
C
f ′(x)
0
f ′(x)
1/(2√x)
k
f (x)
√x
ex
kx + b
x2
2x
ax
ax lna
xn
nxn–1
tg x
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
– 1/sin2x
sin x
cos x
ln x
1/x
cos x
– sin x
loga x
1/(x lna)
ex

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s,
пройденный точкой, есть функция от времени t,
т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная
от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t).
Производная выражает мгновенную скорость в
момент времени t.

Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в
этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С –
данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой
точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также
имеет в этой точке производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и
1
v(x) ≠ 0, то функция
также имеет в этой точке
v(x)
производную, причем
()
v′
1′
=– 2
v
v

Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
u(x)
производные и v(x) ≠ 0, то функция
также имеет
v(x)
в этой точке производную, причем
( )
u ′
u′v – uv′
v =
v2

Производная сложной функции

(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
Примеры:
1. ((5x – 3)3)′ = 3(5x – 3)2∙(5x – 3)′ =
= 3(5x – 3)2 ∙ 5 = 15(5x – 3)2
2. (sin(4x + 8))′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8)′ =
= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

.

Если функция имеет производную (дифференцируема)
в точке х, то она непрерывна в этой точке.

.

Презентация на тему: «Понятие о
производной функции,
её геометрический
и
физический смысл»

.

Цели урока:
ОБУЧАЮЩАЯ:
1) Ввести определение производной функции на основе задач физики,
рассматривая при этом физический смысл производной.
2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой
функции.
3) Научиться решать задачи на данную тему, используя полученные знания.
РАЗВИВАЮЩАЯ:
1) Способствовать развитию общения как метода научного познания,
аналитико-
синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания.
2) Развитие навыков исследовательской деятельности.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:
1) Способствовать развитию творческой деятельности.
2) Развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
потребности к самообразованию.

.

Вопросы:
1. История возникновения производной
функции.
2. Понятие производной.
3. Геометрический смысл производной.
4. Физический (механический) смысл
производной.

.

1. История возникновения производной
функции
Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к
исследованию
функций,
называется
дифференциальным
исчислением.
Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при
работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia
(разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится
как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в., т.е. при
рождении нового метода.
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского
слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные
обозначения у’ , f’. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x) происходит
из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию
флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном
отношении и ввёл обозначение производной df/dx.
Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum
переводится как наибольший, а minimum – наименьший.

.

« – величественная пирамида математических наук»
Наполеон I Бонапарт
Рано изучил сочинения
Евклида и Архимеда,
Галлея (друга Ньютона).
В 16 лет стал преподавать математику в
Артиллерийском училище в Турине.
В 19 лет стал профессором математических
наук.
В 23 года стал академиком и иностранным
членом Берлинской академии наук.
Автор трудов по вариационному исчислению,
математическому анализу, теории чисел, алгебре,
дифференциальным уравнениям.
Его работы по математике, астрономии и
механике составляют 14 томов.
Император Франции сделал учёного сенатором,
графом империи и командором ордена Почетного
легиона.
1736 — 1813
Выдающийся
французский
математик,
ввел
термин «ПРОИЗВОДНАЯ» и её современное
обозначение.

.

2. Понятие производной
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой
окрестности точки х0 (окрестность точки х0 — это
интервал (а; б), x0 (а; б)).
Разность х-х0 называется приращением аргумента:
∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x.
Разность
f(x)-f(x0)
называется
функции: ∆f=f(x)-f(x0) или
приращением
∆f=f(х0+∆x)–f(х0).
Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.

.

2. Понятие производной
Производной функции y=f(x) в точке х0
называется
предел
отношения
приращения функции ∆f к приращению
аргумента ∆x, стремящегося к «нулю»:
f
y` lim
x 0 x
f ( x 0 x) f ( x)
y` lim
x 0
x

.

2. Понятие производной
Четыре обозначения для производной:

.

2. Понятие производной

.

2. Понятие производной
Правило нахождения производной функции
y=f(x) в точке х0:
1.
2.
3.
4.
Найти значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)
Найти приращение функции: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)
Найти отношение приращения функции к приращению
аргумента: f
f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
Найти предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю:
f ( x x) f ( x )
y ‘ lim
x 0
0
0
x

.

2. Понятие производной
Пример: Дана функция y=x2. Найти её производную в
произвольной точке и в точке х=3.
Решение:
1. f(x0+∆x)=(х+∆x)2;
2. ∆f=(х+∆x)2-х2=x2+2x∆x+(∆x)2-x2=2х∆x+(∆x)2;
3.
y
y ‘ Lim
Lim (2 x x) 2 x
x 0 x
x 0
, т.е. y’=(x2)’=2x;
4. при х=3 получим y’(3)=2*3=6.
Ответ: y’=2x; y’(3)=6

.

Пример: Воспользовавшись определением производной,
3x 1
.
найти производную функцииy
2x 5
Решение: Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:
3 x x 1 3x 1 3x 3 x 1 2 x 5 3x 1 2 x 2 x 5
2 x x 5 2 x 5
2 x x 5 2 x 5
17 x
.
2 x 2 x 5 2 x 5
y
Так как
то
y
17 x
17
,
x x 2 x 2 x 5 2 x 5
2 x 2 x 5 2 x 5
y
17
17
lim
.
2
x 0 x
x 0 2 x 2 x 5 2 x 5
2 x 5
y lim
Ответ:
17
y
.
2
2 x 5

.

3. Геометрический смысл
производной.
Лейбниц
Это кто?
Г.В.
«Если продолжить одно из
маленьких
звеньев
ломаной,
составляющей
кривую линию, то эта
продолженная
таким
образом сторона будет
называться касательной к
кривой»

.

А
4
С
А
В
Tg A=3/ 3
A=7/4
tg В -?
Tg B= 3/3
B=4/7
7
3
С
tg A-?
3
В
Вычислите tgα, если
α = 135°, 120°, 150°.
=-1
=- 3
=- 3/3

.

Угловой коэффициент прямой.
Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
1 3k
1
k
3

.

Найдите угловые
коэффициенты прямых:
2
1
1
4
2
3
3
4

.

3. Геометрический смысл
производной.

.

3. Геометрический смысл производной.
f ( x x ) f ( x )
y
lim
tg
k
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому
y коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 к (x — x0 )
касательной
Уравнение
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
f ‘ ( x0 )
называется нормалью к кривой.
kнорм
1
1
1
y y0
( x x0 )
kкас f ‘ ( x0 )
f ‘ ( x0 )

.

Пример:
точке x0 = 3.
Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в
Решени
е:
1) y 3 f 3 x f 3 3 x 2 32 9 2 3 x x 2 9 6 x x 2 ,
2)
6 x x 2
x 6 x
f 3 lim
lim
lim 6 x 6.
x 0
x 0
x 0
x
x
y f x0 f x0 x x0 уравнение касательной
y f x0
1
x x0 — уравнение нормали
f x0
3)
yкас 9 6 x 3
yкас 6 x 9
13.11.2020
f x0 0 .
1
x 3
6
1
1
yнорм x 9 .
6
2
Ответ: yкас 6 x 9
yнорм 9
1
1
yнорм x 9 .
6
2

.

3. Физический (механический)
смысл производной
Исаак
Это кто?
Ньютон
«Когда
величина
является
максимальной
или
минимальной, в этот момент
она не течет ни вперед, ни
назад»

.

3. Физический (механический)
смысл производной
0
s
S(t) за время t
S’(t) V(t) V’(t) a(t)
S(t) — перемещение точки за время t
V(t) – скорость точки в момент t
a(t) – ускорение точки в момент t

.

3. Физический (механический)
смысл производной
Пример: Точка движется прямолинейно по закону
S(t) = 2 t ³ — 3 t. Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение:
а)
б)
3
2
2
v(t ) s (t ) (2t 3t ) 2 3t 3 1 6t 3
v(2) 6 22 3 21( м / c)
Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с

.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Материальная точка движется
по закону 9
2
S (t ) t 7t 6 (м).
Найти
2
В какой момент времени (с) скорость
точки будет равна 12,8 м/c ?
Решение:
S’(t) V(t)
Найти
S (t ) 9t 7 V (t ) V (t ) 12,8
9t 7 12,8
9t 19,8 t = 2,2 (с).

.

3. Физический (механический)
смысл производной
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по
закону х(t)=t³- 4t²
Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с.
Решение:
2
2
v(t ) ( x(t )) 3t 4 2t 3t 8t
v(5) 3 5 8 5 75 40 35( м / с)
2
a(t ) (v(t )) (3t 8t ) 6t 8
2
a(5) 6 5 8 22( м / с )
2
Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2

.

3. Физический (механический)
смысл производной
x(t ) (t 1) , где t 0;10
3
1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке
x(10) x(0) 93 ( 1)3 730
cp
73 м с
10 0
10
10
2. Найти мгновенную скорость в момент времени t=3 сек.
(t ) x’ (t ) 3(t 1) 2
мгн (3) 3(3 1) 2 3 4 12 м с
3. Найти ускорение при t=3 сек
a(t ) ‘ (t ) 6(t 1)
Ответ: Vср=73 м/с;
V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2
a(3) 12 м 2
с

.

S, км
B
45
III
C
3. Физический (механический)
смысл производной
Определите среднюю скорость
движения
на каждом из
четырех участков :
II
IV
A
10
I
D
0
1
3
3,5
I : Vср
10 0 10
10 км
ч
1 0
1
II : Vср
45 30 15
7.5 км
ч
3 1
2
8
III : Vср
45 45
0
0 км
ч
3,5 3 0,5
IV : Vср
45 0 45
10 км
ч
8 3.5 4.5
t, ч

.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Две материальные
точки
движутся
прямолинейно
по законам s1(t) = 1 — 6t + 2,5t 2 и
s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент
времени скорости их
будут равны.
Решение:
1) V1 (t ) (2.5t 2 6t 1)’ 5t 6
(формула нахождения скорости движения 1 тела )
2) V2 (t ) (0.5t 2 2t 3)’ t 2
(формула нахождения скорости движения 2 тела )
3) по условию в момент времени t 0
подсказк
а
v(t ) S (t )
их скорости равны, т.е.
5t 0 6 t 0 2
t0 2
Ответ: при t0 = 2 с

.

3. Физический (механический) смысл производной
Задача по химии
Пример: Пусть количество вещества,
вступившего в химическую реакцию задается
зависимостью р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти
скорость химической реакции через 3 секунды.
РЕШЕНИЕ:
1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек)
подсказк
а
v(t ) Р (t )
Ответ: 6 моль / сек

.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Тело, подброшенное вверх движется
по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:
1) скорость тела в начальный момент времени;
2) наибольшую высоту подъёма тела.
РЕШЕНИЕ:
1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t — скорость тела;
2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в
начальный момент времени
подсказк
а
v(t ) S (t )
3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64
=7,2 м – максимальная
высота броска тела.
Ответ: 8 м/с ; 7,2 м.

.

УСТНО!
Задача по физике
Точка движется прямолинейно по закону
S (t) = t3 – 2t2.
Выберите какой из формул задается скорость
движения точки в момент времени t.
S (t ) v(t )
1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3
Ответ: 3

.

УСТНО!
Задача по экономике
Объем продукции V цеха в течение дня
зависит от времени по
V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.
Вычислите производительность труда П(t).
V (t ) П (t ).
Ответ: П(t) = -5t2+15t+50

.

Подведём итог:
1. Что называется касательной к графику
функции в точке?
2. В чем заключается геометрический смысл
производной?
3. Сформулируйте алгоритм нахождения
уравнения касательной?
4. В чём заключается физический смысл
производной?

.

Выберете смайлик, соответствующий вашему
настроению и состоянию после проведенного урока
тревожно, не уверен в себе
спокойно, у меня все получится
безразлично, что будет, то и будет

.

Домашнее задание:
Написать конспект занятия. Выделить
формулы и определения.
13.11.2020
40

.

Используемая литература:
1.
Учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11»
2.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г.
Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3.
Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г.
Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
4.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11
классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
5.
ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и
И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010
6.
МАТЕМАТИКА СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ПЛАНУ ЕГЭ 2009. Учебно-методическое
пособие. под редакцией А. Г. Клово, Д. А. Мальцева; Ростов-на-Дону. НИИ школьных
технологий

.

(По материалам, изученным в 10 классе).

.

Большинство функций, изучаемых в школьном курсе
алгебры и начал анализа, имеют себе в пару другую
функцию, называемую производная функция от данной,
или просто производная.
Определение производной давалась через пределы.
Посмотрите дома это определение на стр 312 учебника
Мордковича часть 1.

.

C 0
x 1
(kx b) k
( x )
1
2 x
(x ) n x
n
n 1

.

(sinx ) cosx
(cosx ) sinx
1
(tgx )
2
cos x
1
(ctgx )
2
sin x

.

(u v) u v
(С u) C u
(u v) u v u v
u u v u v
2
v
v

.

1) f ( x) 3x 5 x 2 x 4 x 6
7
5
3
Решение
7
5
3
f (x) 3 (x ) 5 (x ) 2 ( x ) 4 ( x) 6
3 7x 5 5x 2 3x 4 1 0
f (x)
6
4
2
f ( x) 21x 25 x 6 x 4
6
4
2

.

2) f ( x) (5 sin x x )
6
Решение
f ( x) (5 sin x x )
6
5(sin x) ( x )
6
5 cos x 6 x
5

.

3) f ( x) 12 x tg ( x)
Решение
f (x) 12 (x ) — (tg(x))
1
f (x) 12 1 2
cos x
1
f (x) 12 2
cos x

.

f(x) x sin x
4
Решение
4
4
f (x) (x ) sinx x (sin x)
f (x) 4x sin x x cos x
3
4

.

2x
5) f ( x)
4x 3
Решение
(2x) (4x 3) — 2x (4x 3)
f (x)
(4x 3)2
2(4x 3) — 2x 4 8 x 6 8 x
6
f (x)
2
2
(4x 3)
(4 x 3)
(4 x 3) 2

.

f(g(x)) f (x) g (x)
Пример
f ( x) ( 5 x 11)
4
Решение
4
f (x) ((-5x 11) ) (5x 11)
f(x) 4 (-5x 11) ( 5) 20 ( 5x 11)
3
3

.

f(x) cos 5 x
Решение
f (x) (cos5x) (5x) -sin5x 5
f (x) -5sin5x

.

k f (a) tg

Производная на ЕГЭ (задача В8)

f (x 0 ) tg
tg 0,2
f ( x0 ) tg
Используя определение
f (x0 ) tg
получим
tg 0,2

Производная на ЕГЭ (задача В8)

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой x0
функции y = f(x) в точке x.0
Ответ:
tg 1
Найдите значение производной

Производная на ЕГЭ (задача В8)

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите
абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси
абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: x = — 3

.

3) К графику функции y = f(x) проведена касательная в
точке с абсциссой x0 3. на рисунке изображен график
производной этой функции. Определите градусную меру
угла наклона касательной.
Решение
tg f ( x0 )
По графику
определяем, что
f ( 3) 1;
tg 1.
Ответ:
135
0

.

y f ( x0 ) f ( x0 ) * ( x x0 )

.

Пример
Составить уравнение касательной, проведенной к
графику
функции
графика с абсциссой
y 2 x3 5x 2 2
точке
x0 2.
Решение
y f ( x0 ) f ( x0 ) * ( x x0 )
y ( x) 2 * ( x 3 ) 5 * ( x 2 ) 2 2 * 3x 2 5 * 2 x 0
6 x 2 10 x
y ( x0 ) y (2) 2 * 23 5 * 2 2 2 6
y ( x0 ) y (2) 6 * 2 2 10 * 2 4
y 6 4 * ( x 2) 6 4 x 8 4 x 14
Ответ:
y 4 x 14

.

S (t ) v(t )
v (t ) a(t )

.

Пример
Материальная точка движется по прямой
так, что ее скорость в момент времени t равна
v(t ) t 3 2t.
Найдите ускорение точки
времени t = 3.
Решение
a (t ) v (t )
v (t ) (t 2t ) 3 * t 2
3
2
v (3) 3 * 3 2 25
2
Ответ:
a (3) 25
в
момент

.

Повторить:
1) Таблицу производных.
2) Правила дифференцирования.
3) Алгоритмы нахождения tg
4) Задание на листке по вариантам..

Использованные ресурсы

Открытый банк задач ЕГЭ по математике 2012
http://live.mephist.ru/show/mathege2010/
Обучающая система Д. Гущина «РЕШУ ЕГЭ»
http://reshuege.ru/
Мордкович А.П. П.В. Алгебра и начала анализа (профильный
уровень) 10 класс, М., «Мнемозина», 2006.
Алимов Ш.А.Алгебра и начала анализа 10-11 класс, М.,
«Просвещение»,1999.

Презентация к уроку по теме «Производная» в 10 классе. По учебнику Мордковича А.Г.

Просмотр содержимого документа

«Презентация к уроку по теме «Производная» в 10 классе»

Чешуина Елена Николаевна

Учитель математики МБУ Школа №70

1. Назовите чему равна х’?

6. Чему равна ( cos x )’ ?

2. Назовите чему равна ( х 2 )’?

7. Чему равна (с tg x )’ ?

3. Чему равна ( sin x )’ ?

8.Чему равна ?

4. Чему равна (С)’ ?

9. Чему равна ?

5. Чему равна ( tg x )’

10. Чему равна (х n )’ ?

• (х 23 -12х 3 )‘

2. (- cos x+4x 2 )‘

3. (12x+3-tg x)‘

4. (5sin x-3 cos x)‘

10. (cosπ-4 )’

• (х 33 +13х 2 )‘

2. ( sin x -3 x 3 )‘

3. (5 x +25- ctg x )‘

4. (-4cos x-10 sin x)‘

8.((23-3x) 33 )‘

9. ( cos(3x-10)+2)‘

• 23x 22 -36x 2

4. 5cos x+3sin x

1.33x 32 +26x

2.cos x-9x 2

4. 4sin x-10cos x

нет ошибок – « 5 », 1ошибка- « 4 » 2-3 ошибки — « 3 » Более 3 ошибок- « 2 ».

Ответы к тесту:

1 вариант 2 вариант

4- f ‘( π )=-4 4- g ‘( π /2)=-4

6-Угол острый, т.к. y ‘(-1)=5 6-Угол тупой,т.к. ‘(-1)=-1

• Задачи, приводящие к понятию производной
• Понятие производной.
• Алгоритм нахождения производной.
• Примеры.
• Таблица производных.
• Физический смысл производной.
• Геометрический смысл производной
• Правила нахождения производных.
• Непрерывность функции.

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движения)

• По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка).
• Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
• Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Задачи, приводящие к понятию производной

Предположим, что в начальный момент времени t тело находилось в точке M , её координата – s(t).

за время  t оно прошло путь М N .

Координата точки N – s(t +  t) .

Тогда М N =  s = s(t +  t) – s(t)

Задачи, приводящие к понятию производной

А что такое скорость v (t) в момент времени t (её называют иногда мгновенной скоростью)?

при условии , что ∆t выбирается все меньше и

Это значит , что

Задача 2: Определить положение касательной (tg φ )

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0

Пусть дан график функции f(x). Необходимо определить тангенс угла наклона касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой х 0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0

=f(x 0 +∆x)

Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол 

А к какому углу будет стремиться угол  ?

К чему будет стремиться приращение аргумента?

При этом координата х точки М будет стремиться к х 0

f(x 0 )

=x 0 + ∆x

Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0,

приближается к положению касательной

Предельным положением секущей МоМ,

когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

f ′(x) = lim

Нахождение производной называют дифференцированием

f ′(x) = lim

f(x 0 )

у = f(x)

f(x 0 + ∆ х)

х 0 + ∆ х

Алгоритм нахождения производной

• Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .

• Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) .
• Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) .
• Составить отношение .
• Вычислить lim .
• Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .

1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

4. Найти производную функции y = √x в точке х o

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

kx + b

– sin x

a x lna

log a x

Физический ( механический ) смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .

Геометрический смысл производной

Производная функции в данной точке численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику через эту точку, к положительному направлению оси ОХ .

Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем

u′v – uv′

Производная сложной функции

( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)

1. ( (5x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =

= 3(5x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2

2. ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.

«Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной

Тип урока-изучение нового материала. В начале урока повторяется понятие предела функции на бесконечности и предела функции в точке. Затем дается небольшая историческая справка об ученых — основоположниках дифференциального исчисления. Вводится понятие производной, понятие дифференцирования функции. Рассматриваются две задачи, приводящие к понятию производной. подчеркивается физический и геометрический смысл производной.

Урок разработан учителем математики ГБОУ МООШИ с ПЛП Егоровой И. Г.

Целевая аудитория: для 10 класса

Уважаемые коллеги! Автор ждёт Ваши отзывы! Оставьте своё мнение о разработке!

Всего комментариев: 1

Порядок вывода комментариев:

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

В помощь учителю

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Презентация к уроку математики в 10 классе на тему: «Правила вычисления производных». В начале урока повторяется таблица производных.Затем изучаются правила вычисления производных — производная суммы, произведения и частного двух выражений. Далее разбираются задания на нахождение производных с помощью изученных правил. Презентация составлена к уроку математики по теме: «Правила вычисления производных» по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11» (авт. А.Н.Колмогоров).

Целевая аудитория: для 10 класса

Уважаемые коллеги! Автор ждёт Ваши отзывы! Оставьте своё мнение о разработке!

Всего комментариев: 1

Порядок вывода комментариев:

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

В помощь учителю

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.