Что мы знаем о развитии математики в индии и китае проект 6 класс

Данная статья — часть обзора История математики.

Данная статья — часть обзора История математики.

Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр (которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни), заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Слайд 1ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В ИНДИИВыполнили студентки группы

Слайд 2В I тысячелетии н. индийские учёные подняли античную

привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр, заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Слайд 3Среди наиболее древних из сохранившихся индийских текстов,

Эти сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые старые редакции этих книг относятся к VI веку до н. э., позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским.

Слайд 4Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были

сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

Слайд 5Индийская нумерация Нумерация(numeratio, от numero-считаю)-

Слайд 6Около 500 г. неизвестные нам индийские учёные

Слайд 7Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные

эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

Слайд 8Изображение нуляIX век

Записанная древнекхмерскими цифрами дата

«605 год эры Шака» (683 год): древнейшее изображение нуля (Самбоур, Камбоджа)

Слайд 9В Античности дроби уже писали знакомым нам

одно существенное отличие. Числитель располагался под знаменателем. Впервые так писать дроби начали в древней Индии.

Слайд 10Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной

операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. Возможно, аналогичная история произошла со словом «синус». Для контроля вычислений применялось сравнение по модулю 9.

Счетная доска приспособленная к позиционной записи чисел

Слайд 12Вычислил приблизительное значение числа π π=62832/20000Приблизительно

индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач.

Слайд 13Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми-математик использовавший в своём

Слайд 14 В VII веке работал другой известный индийский

математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Предположительно, эта идея пришла из Китая. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты неизменно отвергали. Брахмагупта, как и Ариабхата, систематически применял непрерывные дроби, теория которых отсутствовала у греков.

Слайд 15Индийские математики продолжили развитие математической символики, хотя

термины до одного слога, они использовали их как символы неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений. Например, умножение обозначалось знаком гу (от слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если неизвестных было несколько, им для определённости присваивали условные цвета. Квадратный корень обозначался слогом «му», сокращением от мула (корень). Для именования степеней использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и «гхава» (куб):

Слайд 16В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся

них, со временем — и в Европу.

Слайд 17В XI веке происходит захват и разорение

период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономо-математического трактата «Сиддханта-широмани». Бхаскара дал решение уравнения Пелля и ряда других диофантовых уравнений, продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию.

x2 — 2y2 = 1

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Значение математики древней и средневековой Индии. Выполнили

Слайд 2В средневековой математике Индии преобладали вычислительно-алгоритмические методы

индийцев – также практическая, так как в основном все сюда приносилось из других мест, в том числе и наука – сначала вместе с религиозными эмигрантами из Византии, а потом с деятелями мусульманской экспансии. Соединение здесь различных потоков знания дало свои результаты, и весьма неплохие.

Слайд 3Развитие математики как науки в каждой древней

частью эволюции всего человечества. С помощью математического счета человек вел хозяйство, контролировал поголовье скота, производил расчет календаря, вел торговлю и т.п. Параллельно социуму развивалась и математика, которая начала свое движение со счета. Нельзя не отметить индийский способ записи чисел, который отличался некоторой изысканностью.

Слайд 4Изначально для нумерации использовалась сиро-финикийская методика, а

написание «брахми», с отдельными символами для цифр «1-9», которые после небольших видоизменений дошли до нас и называются «арабскими».

Слайд 5Примерно в 500 году до н

– десятичная позиционная система. К сожалению, автор этой методики современности не известен. По истечению некоторого времени индийцы стали использовать специальные счетные доски, которые были максимально приспособлены к позиционной записи. Кроме того, индийские научные деятели разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, в том числе извлечение квадратных и кубических корней.

Слайд 6Огромный прорыв в области математики Индии приходится

невероятно большое количество научных деятелей, которые достигли немалых высот. Наибольшим успехом является развитие численных методов и теории чисел. Кроме того, индийцы достигли небывалого успеха в алгебре. Их символика значительно богаче, нежели у Диофанта, но и громоздка, так как слегка засорена излишними словами.

Слайд 7Что касается геометрии, то можно сказать, что

поэтому до современности дошло немного работ по геометрии тех времен. Доказательства теорем в основном состояли из чертежа и слова «смотри». Стоит сказать, что все свои познания касательно геометрии индийцы черпали у греков. Это относится и к тригонометрии, и к формулам объемов и площадей. Немного позже геометрии стали уделять больше внимание, так как она вошла в обиход человека, и без ее применения невозможно было строить дома, делать правильные расчеты площадей и т.п.

Слайд 8Индийские математики ввели понятие нуля и широко

Они создали десятичную систему записи натуральных чисел и разработали правила операций над записанными так числами. Индусы начали оперировать с иррациональными количествами так же, как с рациональными, без геометрического их представления, в отличие от византийских греков. У них были специальные обозначения для алгебраических действий, включая извлечение корня.

Слайд 9Но и в Индии есть мифический период

памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII–VII векам до н. э. В них приводились геометрические построения, составляющие важную часть ритуальных условий при постройке культовых сооружений: храмов, а потому в них можно найти первые способы квадрирования кругов и применение теоремы Пифагора.

Слайд 10Появление позиционного принципа в индийской математике относят

цифры определялось ее местом влево от конца цифрового ряда. Передвижение цифры на одно место увеличивало ее числовое значение в 10 раз. В соответствии с десятичным принципом индийцы разработали знаки для 9 цифр и десятый знак, нуль. Знак нуля (шунья – пустой) сначала обозначался точкой, потом кружком. По некоторым другим сведениям, первые записи с нулем датируются 876 годом.

Слайд 11Индийские математики ввели в расчеты и правильно

числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей.

Слайд 12Другое дело – индийская математика. Брахмагупта разъясняет,

либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, имущества и долга – их разность, которая либо долг, если он больше, либо имущество, если оно больше, либо нуль, если они равны.

Слайд 13Задача Торчал над гладью водоема
(Ну, лужи, озера,

дециметра два.
Цветок от дуновенья ветра
(Не то пассат, не то муссон)
Снесло на восемь дециметров,
И на воду улегся он.
Так. Чисел хватит. Все, довольно!
Условие понятно? Да?
Мозг напряги (коль есть). Спокойно
Мне выдай глубину пруда.
Дошла до нас в рукописи индийского ученого Бхаскары (12-й век)

Слайд 14В прозе выглядела бы так

отклонился на 8 ед. от прежнего  положения считая по поверхности воды,  при этом вершина цветка оказалась на уровне воды. Определить глубину водоема в этом месте.

Слайд 15В истории Индии имеется много фактов, свидетельствующих

и арабским миром и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимствование индусами от византийцев некоторых геометрических фактов и т. д.

Выполнили
студентки группы Б-ПНО-41
Омарова Е.
Зиновина А.
Косарева В.
Лазутина А.
Лучкина Ю.
Тришина П.
Сергеева А.

IX век
VII век
Записанная
древнекхмерскими
цифрами дата «605
год эры Шака» (683
год): древнейшее
изображение нуля
(Самбоур, Камбоджа)

Индийские математики продолжили развитие
математической символики, хотя пошли по собственному
пути. Сократив соответствующие санскритские термины до
одного слога, они использовали их как символы
неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений.
Например, умножение обозначалось знаком гу (от
слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой
над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если
неизвестных было несколько, им для определённости
присваивали условные цвета. Квадратный
корень обозначался слогом «му», сокращением
от мула (корень). Для именования степеней
использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и
«гхава» (куб):

Китайские (вверху) и японские счёты

Китайская счётная доска по своей конструкции аналогична русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть.

Индийская нумерация (способ записи чисел)
изначально была изысканной. В санскрите были
средства для именования чисел до 10^53. Для цифр
сначала использовалась сиро-финикийская
система, а с VI века до н. э. — написание «брахми»,
с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько
видоизменившись, эти значки стали
современными цифрами, которые мы
называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

К V—VI векам относятся
труды Ариабхаты,
выдающегося
индийского математика
и астронома. В его труде
«Ариабхатиам»
встречается множество
решений
вычислительных задач.
Вычислил
приблизительное
значение числа π
π=62832/20000
Приблизительно 3.1416

В VII веке работал другой
известный индийский математик
и астроном, Брахмагупта.
Начиная с Брахмагупты,
индийские математики свободно
обращаются с отрицательными
числами, трактуя их как долг.
Предположительно, эта идея
пришла из Китая. При решении
уравнений, однако,
отрицательные результаты
неизменно отвергали.
Брахмагупта, как и Ариабхата,
систематически
применял непрерывные дроби,
теория которых отсутствовала у
греков.

Китайская версия пифагоровой тройки: 3 × 4 × 5

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII—XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV века до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр.

Развитие науки продолжилось после того, как в XI веке до н. э. династию Шан сменила династия Чжоу. В эти годы возникают китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. «Истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном (Ши Хуанди) не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов.

Математика в девяти книгах (начало)

«Математика в девяти книгах» — наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая. Это слабо согласованная компиляция более старых трудов разных авторов. Книга была окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном (умер в 150 году до н. э.) и предназначена для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе, то есть рецептурно: формулируется задача, сообщается готовый ответ и (очень кратко и не всегда) указывается способ решения.

Нумерация и счёт

От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.)

Около 500 г. н. э. неизвестные нам индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как у вавилонян.

Записанная древнекхмерскими цифрами дата «605 год эры Шака» (683 год): древнейшее изображение нуля (Самбоур, Камбоджа)

Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая, или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в манускрипте Бакхшали 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков). Действия с дробями ничем не отличались от современных.

Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. Возможно, аналогичная история произошла со словом «синус». Для контроля вычислений применялось сравнение по модулю 9.

В XI веке происходит захват и разорение
мусульманами Северной Индии. Научная жизнь на
длительный период угасает. Из значительных
фигур этого периода можно выделить Бхаскару,
автора астрономо-математического трактата
«Сиддханта-широмани». Бхаскара дал
решение уравнения Пелля и ряда
других диофантовых уравнений, продвинул
теорию непрерывных дробей и сферическую
тригонометрию.
x2 — 2y2 = 1

В I тысячелетии н. э. индийские
учёные подняли античную
математику на новую, более
высокую ступень. Они изобрели
привычную нам десятичную
позиционную систему записи чисел,
предложили символы для 10 цифр,
заложили основы десятичной
арифметики, комбинаторики,
разнообразных численных методов,
в том числе тригонометрических
расчётов.

Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми-математик использовавший в своём трактате знание индийской десятичной системы.

Мухаммад ибн Муса альХорезми-математик
использовавший в своём
трактате знание
индийской десятичной
системы.

Счетная доска приспособленная к
позиционной записи чисел

В VII—VIII веках индийские математические
труды переводятся на арабский. Десятичная
система проникает в страны ислама, а через
них, со временем — и в Европу.

Очень скоро потребовалось введение нового
числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях,
откуда в Индию пришла эта идея — от греков,
из Китая или индийцы изобрели этот важный
символ самостоятельно. Первый код нуля
обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид
привычного нам кружочка.

Индийская нумерация
Нумерация(numeratio, от numero-считаю)это древнеиндийский способ записи чисел

Среди наиболее древних из сохранившихся индийских
текстов, содержащих математические сведения, выделяется
серия религиозно-философских книг Шульба-сутры. Эти
сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые
старые редакции этих книг относятся к VI веку до н. э.,
позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно
дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся
богатые математические сведения, по своему уровню не
уступающие вавилонским.

В Античности дроби уже писали знакомым
нам образом: одно число над другим. Однако
было одно существенное отличие. Числитель
располагался под знаменателем. Впервые так
писать дроби начали в древней Индии.

Приближение дробями числа

Вписанный круг Ли Е в треугольник: Схема круглого города

Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

В это время китайцам уже было известно многое, в том числе:

В области геометрии им были известны точные формулы для определения площади и объёма основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек.

В III веке н. э., под давлением традиционной десятичной системы мер, появляются и десятичные дроби. Выходит «Математический трактат» Сунь-Цзы. В нём, помимо прочего, впервые появляется задача, которой позднее в Европе занимались крупнейшие математики, от Фибоначчи до Эйлера и Гаусса: найти число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт соответственно остатки 2, 3 и 2. Задачи такого типа нередки в теории календаря.

Другие темы исследования китайских математиков: алгоритмы интерполирования, суммирование рядов, триангуляция.

Первые дошедшие до нас «сиддханты» (научные сочинения) относятся уже к IV—V векам н. э., и в них заметно сильное древнегреческое влияние. Отдельные математические термины — просто кальки с греческого. Предполагается, что часть этих трудов была написана греками-эмигрантами, бежавшими из Александрии и Афин от антиязыческих погромов в Римской империи. Например, известный александрийский астроном Паулос написал «Пулиса-сиддханта».

К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Предположительно, эта идея пришла из Китая. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты неизменно отвергали. Брахмагупта, как и Ариабхата, систематически применял непрерывные дроби, теория которых отсутствовала у греков.

Ряд открытий был сделан в области решения неопределённых уравнений в натуральных числах. Вершиной стало решение в общем виде уравнения  . В 1769 г. индийский метод переоткрыл Лагранж.

В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся на арабский. Десятичная система проникает в страны ислама, а через них, со временем — и в Европу.

В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии (Махмуд Газневи).
Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономо-математического трактата «Сиддханта-широмани». Бхаскара дал решение уравнения Пелля и ряда других диофантовых уравнений, продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию.

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа  .

Индийцы использовали счётные доски,
приспособленные к позиционной записи. Они
разработали полные алгоритмы всех
арифметических операций, включая
извлечение квадратных и кубических корней.
Сам наш термин «корень» появился из-за того,
что индийское слово «мула» имело два
значения: основание и корень (растения);
арабские переводчики ошибочно выбрали
второе значение, и в таком виде оно попало в
латинские переводы. Возможно, аналогичная
история произошла со словом «синус». Для
контроля вычислений применялось сравнение
по модулю 9.