Контрольная работа №5. Вариант 1.
№1. Разложите на множители: 1) m3 + 27а3; 2) х3 – 64хy2; 3) –Зa2 + 18а – 27; 4) 2ab + 10b – 2а – 10; 5) а4 – 16.
1) m³ + 27n³ = (m + 3n) (m² – 3mn + 9n²);2) x³ – 64xy² = x (x² – 64y²) = x (x – 8y) (x + 8y);3) – 3а² + 18а – 27 = — 3 (а² – 6а + 9) = — 3 (а – 3)²;4) 20b + 10b – 2a – 10 = 2b (a + 5) – 2 (a + 5) = (a + 5) (2b – 2);5) а⁴ – 16 = (а²– 4) (а² + 4) = (а – 2) (а + 2) (а² + 4).
№2. Упростите выражение (2а – 1)(4a2 + 2а + 1) и найдите его значение при а = –1/2.
№3. Разложите на множители: 1) x2 – y2 + х – у; 2) 4×2 – 4ху + y2 – 9; 3) ас4 – с4 – ас2 + с2; 4) 4 – m2 + 2mn – n2.
1) х² – у² + х – у = (х – у) (х + у) + (х – у) = (х – у) (2 + у + 1);2) 4х² – 4ху + у² – 9 = (2х – у)² – 9 = (2х – у – 3) (2х – у + 3);3) ас⁴ – с⁴ – ас² + с² = с⁴ (а – 1) – с² (а – 1) = (а – 1) (с⁴ – с²) = (а – 1) (с² – 1) с² = с² (а – 1) (с – 1) (с + 1);4) 4 – m² + 2mn – n² = 4 – (m – n)² = (2 – m + n) (2 + m – n).
№4. Решите уравнение: 1) 6х3 – 24х = 0; 2) 25х3 – 10×2 + х = 0; 3) х3 – 4×2 – 9х + 36 = 0.
1) 6х³ – 24х = 06х (х² – 4) = 06х (х – 2) (х + 2) = 0х = 0, х = 2, х = — 2Ответ: 0; 2; — 2
2) 25х³ – 10х² + х = 0х (25х² – 10х + 1) = 0х (5х – 1)² = 0х = 0, х = $rac15$Ответ: 0; $rac15$
3) х³ – 4х² – 9х + 3b = 0x² (x – 4) – 9 (x – 4) = 0(x – 4) (x – 3) (x + 3) = 0x = 4, x = 3, x = — 3Ответ: 4; ± 3
№5. Докажите, что значение выражения 212 + 53 делится нацело на 21.
2¹² + 5³ = (2⁴)³ + 5³ = (2⁴ + 5) * (2⁸ – 5 * 2⁴ + 25) = 21 (2⁸ – 5 * 2⁴ + 25), делится на 21
№6. Известно, что а + b = 5, ab = –2. Найдите значение выражения (а – b)2.
а + b = 5, ab = — 2(a – b)² = a² – 2ab + b² = a² + 2ab + b² – 4ab = (a +b)² – 4ab = 25 + 8 = 33.Ответ: 33.
Контрольная работа №5. Вариант 2
№1. Разложите на множители: 1) b3 – 8с3; 2) 49x2y – у3; 3) –7a2 + 14а – 7; 4) 5ab – 15b –5а + 15; 5) а4 – 1.
1) b³ – 8c³ = (b – 2c) (b² + 2bc + 4c²);2) 49x²y – y³ = y (49x² – y²) = y (7x – y) (7x + y);3) -7а² + 14а – 7 = — 7 (а² – 20 + 1) = — 7 (а – 1)²;4) 5ab – 15b – 5a + 15 = 5b (a – 3) – 5 (a – 3) = (a – 3) (5b – 5) = (a – 3) (b – 1) * 5;5) а⁴ – 1 = (а² – 1) (а² + 1) = (а – 1) (а + 1) (а² + 1).
№2. Упростите выражение (3а + 1)(9a2 – За + 1) и найдите его значение при а = 1/3.
№3. Разложите на множители: 1) а + b + a2 – b2; 2) 9a2 – 6аb + b2 – 16; 3) х3y2 – х3 – хy2 + х; 4) 1 – x2 + 4ху – 4y2.
1) a + b + a² – b² = (a + b) + (a – b) (a + b) = (a + b) (1 + a – b);2) 9a² – 6ab + b² – 16 = (3a – b)² – 16 = (3a – b – 4) (3a – b + 4);3) x³y² – x³ – xy² + x = x³ (y² – 1) – x (y² – 1) = (y – 1) (y + 1) (x² – 1)x = (y – 1) (y + 1) (x – 1) (x + 1) * x;4) 1 – x² + 4xy – 4y² = 1 – (x – 2y)² = (1 – x + 2y) (1 + x – 2y).
№4. Решите уравнение: 1) 2х3 – 50х = 0; 2) 16х3 + 8×2 + х = 0; 3) х3 + 2×2 – 36х – 72 = 0.
1) 2х³ – 50х = 02х (х² – 25) = 02х (х – 5) (х + 5) = 0х = 0, х = 5, х = -5Ответ: 0; ± 5
2) 16х³ + 8х² + х = 0х (4х + 1)² = 0х = 0, х = $-rac14$Ответ: 0; $-rac14$
3) х³ + 2х² – 36х – 72 = 0х² (х + 2) – 36 (х + 2) = 0(х + 2) (х – 6) (х + 6) = 0х = -2, х = 6, х = — 6Ответ: — 2; ± 6
№5. Докажите, что значение выражения 39 – 43 делится нацело на 23.
3⁹ – 4³ = (3³)³ – 4³ = (3³ – 4) (3⁶ + 4 * 3³ + 4²) = 23 (3⁶ + 4 * 3³ + 4²), делится на 23
№6. Известно, что а – b = 7, ab = –4. Найдите значение выражения (а + b)2.
а – b = 7, ab = — 4(a + b)² = a² + b² + 2ab = a² + b² – 2ab + 4ab = (a – b)² + 4ab = 49 – 16 = 33Ответ: 33.
