Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует
способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до
, т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
Решение: По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов —
. Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: По условию задачи отбор цветов для окраски производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов зависит лишь от числа отбираемых для окраски цветов —
. Поэтому общее число вариантов есть
ПРИМЕР 13.2.12. Турист прошел маршрут из пункта A в пункт B, из B в C и вернулся обратно. Сколько вариантов маршрута существует, если из пункта A в пункт B ведут 3 дороги, а из B в C — 4 и нельзя возвращаться той дорогой, по которой уже прошел?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось
. Тогда всего вариантов маршрута
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
т.е. 2 способами.
Таким образом, всего способов распределения учеников будет
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
Очевидно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых друг из друга поворотом, — шесть. Тогда общее число вариантов уменьшается в шесть раз и их остается
.
В случае же, когда нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый меняются местами (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов
. Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана
Изучение принципов и методов решения комбинаторных задач. Операции с конечными множествами, состоящими из элементов любой природы и их подмножества. Соединения перестановки, замещения, сочетания. Факториал и его свойства. Комбинаторный закон умножения.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Керченская общеобразовательная школа 1-3 ступеней №11
Учитель высшей категории,
Раздел математики, в котором изучаются методы решения комбинаторных задач, называется комбинаторика.
Комбинаторные задачи — задачи, в которых часто приходится отвечать на вопрос: сколькими способами можно выполнить то, что требуется. Например, сколькими способами можно составить расписание уроков на день из 5 предметов, если в классе изучается 10 предметов. Или сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр четырёхзначного числа и т.д.
При решении таких задач приходится рассматривать конечные множества, состоящие из элементов любой природы и их подмножества. Такие множества называют соединениями, а в зависимости от типа задач они получили определенные названия: перестановки, замещения, сочетания.
Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр числа 123, если цифры в каждом числе не повторяются?
Составим все эти числа: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Всего — 6 чисел. Обратим внимание: взяли первой цифру 1, с ней образовав 2 числа, цифру 2, с ней образовав 2 числа, цифру 3, с ней образовав 2 числа, т.е. общее количество всех чисел 3*2=6.
Так как цифры в числе переставляли, то логически следует назвать этот тип задач — перестановкой
*Любое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называют перестановкой из n элементов.
1. Количество элементов данного и полученного множества совпадает.
2. Важен порядок в множестве.
a) Факториал и его свойства.
6!/3! = (1*2*3)*4*5*6/3! = 3! * 4*5*6/3! = 4*5*6 = 120.
(k! — (k+1)!)/k! = (k! — k!(k+1))/k! = k!(1-k-1)/k! = -k
Задача. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей вокруг стола, если стоят 5 стульев?
Количество гостей совпадает с количеством стульев. Каждый гость садится на определённое место, т.е. в множестве важен порядок значит, это перестановка из 5 элементов.
а) 1/(n+1)! — 1/(n+2)!; б) n!/(n+1)! — (n-1)!/n!
а) 1/k! — 1/(k+1)! б) (n-2)!/n! — n!/(n+1)!
5. Решите уравнение.
а) (n+2)!/n! = 72 б) (n+1)!/(n-1)! = 30
а) (P5+P4)/P3 б) (P10 — P9)/9P8 в) P3k/P(3k-2)
а) (P6+P5)/P4 б) (P12 — P11)/11P10 в) P(3k+2)/P(3k+1)
8. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?(ответ: P5 = 5!)
9. В школе 17 классов и 17 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?(ответ: P17 = 17!)
10. Сколько разных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0;2;4;6 , если каждую из них использовать только один раз(ВНО).
11. Сколькими способами можно расставить 6 книжек на книжной полке? (ответ: P6 = 6!)
12. На танцевальной площадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут образовать пары для участия в очередном танце? (ответ Pn = n!)
13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;3;5;7 , если каждую из них использовать только один раз? (ответ 5!-4!)
14. Сколькими способами можно 8 учеников построить в колону по одному? (ответ P8)
15. Есть 10 книг, из которых 4 — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?(ВНО)
Пусть все 4 учебника как 1 книга. Тогда на полке надо расставить не 10 книг, а 7, т.е.
P7 = 7! В каждом таком наборе книг 4 учебника можно переставлять между собой P4 способами, т.е. P4 = 4!. Значит, P7 * P4 = 7!*4!
16. В шкафу в ряд висят 10 платьев и 3 блузки. Сколькими способами можно развесить всю одежду так, чтобы блузки висели рядом? (ответ: 11! * 3!)
17. На полке в ряд лежат 5 тюбиков с кремом и 2 тюбика с зубной пастой. Сколькими способами можно разложить все предметы так, чтобы тюбики с кремом лежали в ряд? (ответ 3! * 5!)
18. На пляже в ряд загорают 20 человек, среди них — 8 детей. Сколькими способами можно распределить загорающих так, чтобы дети лежали рядом? (ответ: 13!*8!)
19. Сколькими способами можно 4 мужчин расположить на 4 местной лодке? ( ответ: 4!)
20. Курьер должен разнести пакеты 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?( ответ: 7!)
21. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5,7,8, но забыла в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется набрать, чтобы дозвонится подруге? ( ответ: 3!)
22. Сколько 6 значных чисел(без повтора цифр) можно составить из цифр:
а) 1,2,5,6,7,8 б)0,2,5,6,7,8
(ответ: а) 6! б)6!-5!)
23. В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физ-ра, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы 2 урока математики стояли рядом?
5! * 2!(т.к. алгебра и геометрия считаются одним предметом, всего 5 предметов; и между собой алгебра и геометрия — т.е. 2 варианта) (ответ: 5! * 2!)
24. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? (ответ: 10!)
25. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять места в театре, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, девочки — на чётных? (ответ: 5! * 5!).
2. Комбинаторный закон умножения
комбинаторный задача факториал умножение
Если элемент, а можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами, то пару элементов (a и b) можно выбрать m*k способами.
Задача 1. В вазе 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать 1 конфету и 1 шоколадку.
Решение: Возьмем 1 конфету, после этого 1 шоколадку можно выбрать 5 способами. Конфет 10, значит всех способов в 10 раз больше! 5*10 = 50 (способов)
Задача 2. Даны цифры 0,1,2,3,4. Сколько пятизначных чисел можно составить из данных цифр. Цифры в числе могут повторятся.
4 * 5 * 5 * 5 * 5 = 4 * 54 (способов).
3. Комбинаторный закон сложения
Если элемент a можно выбрать m способов, а элемент b — k способами и любой выбор элемента a отличен от выбора b, то элементы a или b можно выбрать m+k способами.
Задача В вазе лежат 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать одну сладость?
26. Есть 5 видов конвертов без марки и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма? (ответ 5 * 4 = 20)
27. На полке стоят книги: 100 художественных и 35 учебных. Сколькими способами можно выбрать: a) 1 книгу б) 1 художественную и 1 учебную?
28. Сколько чётных чисел можно составить из цифр 0;1;3;6.
Решение: 1 позиция 0 3 способа(без нуля); 2 позиция — 4 способа, 3 и 4 — 4 способа.
3 * 4 * 4 = 48 (чисел)
Решение: всех цифр — 10;
1ая позиция — 9 цифр (без 0)
2, 3 позиция — 10 цифр
4 позиция — 2 цифры (0;5)
30. Сколько 5 значных нечётных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7?
4. Перестановки с повторением
Задача 1. Количество различных 6-значных чисел, которые можно составить из трёх двоек, двух семёрок и одной пятёрки, равно: P6=6!/3!*2!*1!=720/6*2*1=60(чисел)
Задача 2. Сколько различных слов можно составить из букв слова математика?
Решение. М-2 буквы, а — 3 буквы, Т-2буквы, всего 10 букв. P10=10!/2!*3!*2! (слов)
Задача 3. Найти количество разных четырёхзначных чисел, которые могут получиться при перестановке 1,1,4,4. Ответ: P4 = 4!/2!*2! = 6.
31. Сколько различных 5-значных чисел можно составить при перестановке цифр 2,2,3,3,5. (ответ: 5!/2!*3!*1!)
32. Сколько 6-значных чисел можно составить: 1)из двух цифр 5 и четырёх цифр 7
2) из трёх цифр 5 и трёх цифр 7? (ответ: 1) 6!/2!*4! 2) 6!/3!*3!)
33. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика так, чтобы в каждом ящике было 7 предметов? (ответ 28!/7!)
34. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова: 1) лицей 2) галушка 3) шаровары 4) мама 5) папа 6) панама
Сочетанием из n элементов по k называют k — элементное подмножество
n — элементного множества.
Главное: 1) кол-во элементов множеств — разное, причём k ? n. 2) порядок не важен
Cnk = n!/k!(n-k)!
1. С00 = 1; Cn0 = 1; Cnn = 1
2) Cnk = Cnn-k
3) Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1
Задача. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 25 учащихся класса?
35. В классе 7 учащихся занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двух из них для участия в математической олимпиаде? (ответ C72)
36. В магазине продаются 8 разных наборов марок на спортивную тему. Сколькими способами можно выбрать 3 набора? (ответ C83)
37. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуют прочитать на каникулах. Сколькими способами можно выбрать 6 из них? (ответ C106)
38. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать? (Ответ C164 * C123)
39. На плоскости даны 25 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение. Так как n=25 , k = 3 и порядок вершин неважен, то C253
40. У одного мальчика — 10 марок для обмена, а у другого — 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? (ответ C102 * C82)
41. На одной из параллельных прямых отмечены 7 точек, на другой — 12. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Решение. По 2 точки (вершины) должны лежать на каждой из прямых. (ответ: C72 * C122)
42. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды(52 карты) 10 карт так, чтобы среди них было 3 туза?
Решение. 3 туза из 4х тузов: C43. Остальные 7 карт — не тузы. 52-4=48: C487.
Ответ: C43 * C487.
43. Вычислить: 1) C84 2) C76
44. Решить уравнение: 1) Cx2 = 153 2)Cx+23 = 8(x+1) 3) Cx+12/Cx3 = 4/5
Ответ: 1)18; 2)6; 3)7;
45. Решить уравнение: 1)Cxx-2 = 45; 2)3C2xx+1 = 2C2x+1x-1; 3) 11C2xx = 6C2x+1x+1;
46. Решить уравнение: 1)Cx15 = Cx6; 2)C307+C306 = C31x; 3)C198+C19x = C208; 4)Cx2 = 120;
5)Cx+23 = 7(x+2); 6)Cxx-2 = 66; 7)Cx+13/Cx4 = 6/5; 8)13C2xx+1 = 7C2x+1x-1;
47. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санаторий. Сколькими способами можно сформировать группу обиженных? (ответ C85)
48. На плоскости расположены 20 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько существует прямых проходящих через эти точки? (ответ C202)
49. Сколькими способами группу туристов из 10 человек можно разместить в 4х местной и 6 местной палатке? (ответ C104)
50. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд разведчиков, в который входят 3 офицера и 12 рядовых? (ответ C73 * C2012)
51. В футбольной команде 11 основных игроков и 8 запасных. Сколькими способами можно сделать замену сразу двух игроков? (ответ C112 * C82)
52. На одной параллельной прямой — 7 точке, на другой — 12. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? (ответ С72 * С121 + С71 * С122)
53. Сколькими способами можно выбрать из колоды(36 карт) 6 карт так, чтобы среди них было 2 дамы? (ответ C42 * C324)
54. В лотерее разыгрываются 5 предметов. Первый, кто подошёл к урне, вынимает 5 билетов из неё. Сколькими способами он может их вынуть, чтобы 3 из них были выигрышными, если в урне 100 билетов. (ответ: C53 * C952)
55. На собрании 30 человек, среди которых 2 женщины, избрали 4 сотрудника для работы на участке. Сколько может быть случаев, когда среди избранных — 2 женщины?
56. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска пропавшего туриста. Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут разделится так, чтобы в каждую группу вошли 2 человека, знающие местность. (ответ: C42 * C126)
Cnm+1 + Cnm-1 + 2Cnm = Cn+2m+1
58. Строительная организация выделила в помощь детскому дому бригаду из 5 рабочих. В организации работают 20 рабочих, в том числе 5 каменщиков, 4 плотника и 2 штукатурщика. Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы в её состав входили рабочие всех специальностей по одному?
59. Между четырьмя игроками в домино распределяют 28 костей. Сколькими способами (N) можно распределить кости? В ответ запишите N:109 и округлите, до единиц.
Решение: 1 игрок может выбрать кости C287 способами, 2 ой игрок: C217, третий C147, четвертый: C77.
N = C287 * C217 * C147 * C77 = 21478.
60. Сколькими способами из группы (20 человек) можно выбрать 4 делегата на конференцию?( C204.)
61. Сколькими способами можно составить букет из 3 роз, в котором находится 2 красных и 1 белая розы, если цветы выбирают из 6 белых и 7 красных? (ответ: C72 * C61).
Сочетание с повторениями
Пусть дано n — элементное множество, то сочетанием с повторением из n элементов по k называются наборы, в каждый из которых входит k заданных элементов (не обязательно разных), отличающихся только составом элементов(хотя бы одним элементом)
Cnk = Cn+k-1k
Задача. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Найти количество способов покупки 7 открыток.
Решение. При выборе открыток порядок их следования не учитывают. По условию не запрещается покупать одинаковые открытки.
C57 = C5+7-17 = 330.
62. Сколько существует треугольников длины сторон, которых принимают любые из 3 следующих значений: 4,5,6,7. (ответ: C43)
63. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в отделении: а) 12 открыток; б) 8 открыток.
(ответ: а) C1012; б) C108)
64. Сколькими способами можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины рёбер которых выраженные натур числами от 1 до 10? (ответ C103)
65. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают любые 3 из данных значений: 4;5;6;7 (ответ C43)
Размещением из n элементов по k называют любое упорядоченное множество из k элементов множества.
Ank = n!/(n-k)!
1) Количество элементов разное
2) Важен порядок во множестве.
Задача. Для дежурства по школе из 10 учащихся выделили 2 учащихся: старшего дежурного и его заместителя. Сколькими способами?
Решение. Выбор старшего дежурного из 10 возможен 10 способами. После 1 выбора осталось 9 человек. Из 9 человек выбираем заместителя. Значит, 10*9 = 90. Или
A102 = 10!/8! = 9*10 = 90.
Задача 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются.
Решение: n = 6, k = 3; n ? k. Порядок — важен. Тогда A63 = 120.
65. Даны 6 цифр 0,1,2,3,4,5. Сколько трёхзначных чисел можно составить из данных цифр(без повторения цифр)? (ответ: n = A63 — A62 = 100)
66. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день из 15 предметов, если в течении дня должно быть 7 уроков? (ответ А157)
67. На соревнования по лёгкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них победит в эстафете 4х100 м на каждом из 4х этапов. (ответ А124)
68. Сколько 3-значных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4,5,6 (ответ А63)
70. Из 25 учащихся надо выбрать председателя, заместителя и секретаря.
71. Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (ответ А73)
72. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить призёров из 15 учениц? (ответ А153)
73. Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж, помощников, 2х бортинженеров и 1 врача. Тройка руководителей полёта выбираются из 25 лётчиков бортинженеры — из 20 специалистов а врачи из 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж? В ответ записать N:106 и округлить до единиц.
Решение. Т.к. в выборе команды состава важен порядок, то командира и 2х его помощников можно выбрать А253 способов. Бортинженеры равноценны(II состав), порядок их выбора не важен, тогда С202 врачи С81. N = А253 * С202 * С81 = 2097600.
N:106 = 21.
74. Решите уравнение.
1) Ax4/Ax2 = 6; 2) Ax2 + Cx1; 3) Ax2=20; 4) 3Cx+12 — 2 Ax2 = x; 5) Ax+13 + Cx+1x-1 = 14(x+1);
75. Сколькими способами в команде спортсменов из 10 человек можно распределить 3 призовых места? (ответ A103)
1) A133/( A144 — A134); 2) A1512/( A163 * P12);
77. Решить уравнение: 1)Ax2 = 42; 2) Ax2 = 182; 3) Ax-12 — Cx1 = 79; 4) 3Cx+12 +2x = 4Ax2
5) Ax-22 + Cxx-2 = 101
78. Сколько существует 3х значных чисел, все цифры которых чётные, различные, не содержат “0”?
79. Сколько существует правильных дробей, числитель и знаменатель которых различны и не содержат “0”?
Размещения с повторениями
Главное: n и k — любые. Порядок — важен, могут быть как и незанятые места, так и на одно место несколько элементов.
Ank = nk
Задача. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторятся.
Решение: A63 = 63 = 216
80. Шестерых студентов необходимо распределить по трём разным группам. Сколькими способами это можно сделать? (A39 = 39)
81. Найти количество 3х значных чисел, которые можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,9 если а) цифры в числе не повторяются; б) цифры в 1 числе могут повторится.
(Ответ а)A73; б) A73)
82. Найти количество 3х значных чисел, которое можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,0 если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторятся.
Решение. а) A73 — A62; б) на 1 место можно поставить все цифры кроме “0”; т.е. 6 способов, а на любое другое место — 7 способов. 6*7*7 = 294 (чисел)
83. Сколько существует 7 — значных телефонных номеров, у которых первая цифра 70.
Решение. Всего цифр 10. На 1 место — 9 цифр(кроме нуля), на 2ое — 10. (9 * 106)
84. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы полученные числа были а) четными; б) кратные 5.
Решение. а) 5 * 5 * 2 = 50(чисел) так как на 1 и 2 место можно поставить любое из 5 чисел, а на последние только 2. Числа из данных — 2 и 4.
б) 5*5*1 = 25.
86. Сколькими способами можно размешать 12 разных деталей по 3 ящикам? (A312)
87. Сколько существует 5-значных номеров 1) составленных из цифр 2,3,5,7; 2) который не содержит цифру 8; 3) которые не содержат цифру 0 и 8.
Решение. 1) A45; 2) A85; 3) A95 — A84
88. Имеем набор из 16 карточек на 4х буква А, на 4х буква Б, на 4х — В; на 4х — Г. Сколько разных наборов можно получить, выбирая из набора 4 карточки и складывая их в определенном порядке? (44)
89. Сколькими способами можно расставить 6 книг на книжной полке? (6!)
90. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санатороий. Сколькими способами можно сформировать группу: a) счастливчиков (С83); б) неудачников (С85)
91. В классе изучают 16 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день из 7 уроков, если все уроки — различные предметы (A167)
92. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры кот. Различны и четны?
(A54 — A43)
93. Сколько различных 5-значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифру в числе можно использовать только 1 раз? (5! — 4!)
94. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд разведчиков, в который входят 3 офицера 12 рядовых? (C73 * C2012)
95. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова: a)школа ( 5!); б) литература (ответ: 10!/(2! * 2! * 2!))
96. Сколько существует треугольников с сторонами 5см, 6см, 7см, 8см, если:
а) треугольники — разносторонние (С43); б) любые (С63)
97. Сколькими способами можно выбрать из колоды (36 карт) 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза? (С42 * С324)
98. Сколькими способами можно разложить 20 мячей по 5 корзинам (A520)
99. Сколько существует 5-значных номеров телефонов составленных из 4 цифр 1,2,3,8. (ответ: A45)
100. В урне лежат 8 красных, 4 синих, 3 желтых шара. Сколькими способами можно вытянуть: а) 1 красный, 1 желтый, 1 синий шар (ответ: 8*4*3); б) 2 красных, 3 синих, 2 жёлтых ( С82 * С43 * С32).
101. Сколькими способами можно заполнить карточки спортлото (зачеркнуть 6 из 49)?
102. В каких случаях из 6 выбранных номеров игры спортлото 6 из 49 после тиража
а)3 будет угаданы правильно. (С63 * С433); б) 4 — правильно (С64 * С432); в) 5 — правильно (С65 * С431); г) 6 — правильно (С66 * С430)
103. Сколько четырёхзначных чисел можно получить из числа 2226 ( P4 = 4!/(3!*1!) = 4)
104. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика по 7 предметов? ( 28!/(7!*7!*7!*7!)
105. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика? (С428)
106. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы полученные числа были: а) чётными (5*5*2); б) кратные 5 (5*5*1)
107. Сколькими способами на полке можно расставить 10 книг, среди которых 3 — научно — популярные, чтобы научно-популярные стояли рядом. (11!*3!)
108. В шкафу вряд висят 6 пиджаков и 10 платьев. Сколькими способами можно развесить одежду так, чтобы пиджаки висели рядом? (11! * 6!)
109. В шеренге на уроке физкультуры в ряд стоят 15 девочек и 6 мальчиков. Сколькими способами ребята могут выстроится снова так, чтобы мальчики были рядом?
110. На полке в магазине в ряд лежат 20 булок белого хлеба и 10 — серого. Сколькими способами можно разложить хлеб так, чтобы булки серого хлеба были рядом? (21!*10!)
111. Сколько слов можно составить из слова переставляя его буквы: а) кружка (6!);
б) казак (5!/2!)
112. Даны цифры 1,2,7,8,9. Сколькими способами можно составить из данных цифр:
а) 5-значное число без повторения цифр(5!); б) 5-значное число с повторением цифр(5*5*5*5*5); в) трёхзначное число без повторения цифр (A53); г) трёхзначное число с повторением цифр (5*5*5); д) чётное трехзначное число (5*5*2); е) нечетное четырёхзначное число (5*5*5*3); ж) трёхзначное число, все цифры которого — чётные (2*2*2); з) четырёхзначное число, все цифры которого — нечетны(3*3*3*3)
113. В лотерее спортлото вычёркивают 5 из 36 чисел. а) сколькими способами это можно сделать? (С365); б) сколько существует способов, чтобы выиграло 3 номера (С53 * С312); 4 номера (С54 * С311); 5 номеров (С55 * С310 = 1)
114. В сказочном королевстве нет двух людей с одинаковым набором зубов. Каково максимальное количество жителей в королевстве, если у человека 32 зуба.
115. В инопланетном городе инопланетяне различаются хоботками. Максимальное количество хоботков на одном — 20, нет 2х одинаковых инопланетян с одинаковым набором хоботков. Сколько всего жителей в городе? (A220 = 220 = 4096 жителей)
116. Из урны вынимают 5 белых, 4 чёрных шара. Сколькими способами можно выбрать:
а) 1 белый и 1 чёрный шар(5*4); б) 2 белых и 3 черных шара (С52 * С43)
117. В колоде 36 карт. 6 участников игры берут по очереди по 6 карт. Сколькими способами они могут это сделать? (С366 * С306 * С246 * С186 * С126 * С66)
118. На полке 20 книг, из них 5 по математике. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы 5 книг по математике стояли рядом?
119. Есть 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма? (5 * 4)
120. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова “паркет” (2*4)
121. Сколькими способами можно указать на шахматной доске а)белый и черный квадрат?
(ответ: 322 = 1024) б) пару белых квадратов (32*31/2)
122. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, которые не лежат на одной горизонтали или на одной вертикали.
Решение. Белый квадрат можно выбрать на которой лежит квадрат, останется 64-14 = 48 (квадратов), из них — 24 чёрных, по правилу произведения n = 32*24.
123. Из 3 учебников алгебры, 7 учебников геометрии и 3 учебников физики надо собрать комплект, содержащий по 1 учебнику каждого вида. Сколькими способами можно это сделать? (3*7*6)
124. В корзине 12 яблок, 10 апельсинов. Иван берёт себе яблоко или апельсин, после этого Надя берет из фруктов что остались и яблоко и апельсин. Сколько возможностей такого выбора?
Решение. Если Иван взял яблоко, то выбор — 12 способов, то Надя — 11*10, после выбора Ивана. Если Иван взял апельсин — 10 способов, то Надя — 12*9 способов.
Всего 12*11*10 + 12*10*9.
125. Сколькими способами можно обтянуть 6 стульев тканью 6 разных цветов? (6!)
126. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткан 5 различных цветов? (A53)
127. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткани 5 различных цветов, но одна из полос должна быть обязательно красной? (3A42)
128. Есть 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём из них изготовление трёх разных деталей (по одной на каждого) (A83)
129. В профком выбрали 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать? (A94)
130. Сколькими способами можно бросить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик можно бросить не более 1 письма? (A115)
131. На совещании должны выступить 5 человек: А,Б,В,Г,Д. Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих так, чтобы
а) Б не выступал перед А
б) Б должен выступить сразу за А.
а) Общее количество всевозможных списков 5! = 120. В половине списков Б выступает за А. n = 60.
б) А, Б соораторов одного выступления 4! = 24.
132. Из 10 разных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами? (C104)
133. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов на конференцию, на которой присутствует 15 человек? (C155)
134. Сколькими способами можно поставить 8 шашек на чёрные поля доски? (C328)
135. Сколькими способами можно поставить на чёрные поля доски 12 белых и 12 чёрных шашек? (C3212 * C2012)
136. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого — 15. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена? (C113 * C153)
137. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Первый, кто подходит к урне, вынимает из неё 5 билетов. Сколькими способами он может их взять, чтобы 3 из их оказались выигрышными, если в урне 100 билетов? (C53 * C972)
138. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска заблудившегося товарища. Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут распределится так, чтобы в каждую группу попало по 2 человека знающих местность?
(ответ C42 * C126)
139. На собрании присутствует 30 человек, среди которых 2 женщины. На избирательный участок выбрали 4 сотрудников. Сколько может быть способов, чтобы в числе выбранных было 2 женщины? (C22 * C282)
140. Строительная организация выделила для помощи детскому саду бригаду из 5 рабочих. В организации 20 работников, в том числе 5 маляров, 4 столяра и 2 штукатура. Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы она состояла из работников всех специальностей по одному? (5*4*2*C92)
141. 20 пассажиров собираются ехать поездом. В кассе 12 билетов на нижнюю полку и 8 на верхнюю. При этом 4 пассажира не желают ехать снизу, а 5 пассажиров — сверху. Сколькими способами их можно разместить в поезде если:
а) порядок размещения пассажиров снизу и сверху не учитывается.
Решение. 4 — верхних, 5 нижних — для требовательных пассажиров. Осталось 11 мест.
n = C117
б) порядок размещения учитывается и снизу и сверху.
Решение. Каждому из C117 способов нетребовательных пассажиров на группы верхних и нижних соответственно P12 сверху и P8 — снизу, n = P12 * P8 * C117
в) учитывается порядок размещения внизу. (n = P12 * C117)
143. Докажите, что 77 телефонов не могут быть связаны друг с другом так, чтобы каждый из них был связан ровно с 15 другими. ( n = 77*15/2)
144. Сколько нужно взять элементов чтобы Pn = 5040? (ответ 7)
145. В 11 классе 35 учеников. Они обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий роздано? (35*34)
146. Сколько разных прямых можно провести через 10 точек плоскости, причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой (10*9/2 = 45)
147. Сколькими способами можно разместить 12 разных деталей по 3 ящикам? (A312 = 312)
148. Сколько существует 5-значных номеров:
а) составленных из цифр 2,3,5,7 ( 45)
б) не содержащие цифру 8 ( 85)
в) не содержащие цифр 0 и 8 ( 95 — 84)
149. Имеется набор из 16 карточек. На 4х написана буква А, на 4х — Б, на 4х — В, на 4х — Г. Сколько разных наборов можно получить, выбирая 4 карточки и раскладывая их в ряд в некотором порядке? (44)
150. Сколько слов можно получить из слова, переставляя буквы: а) парабола (8!/3!);
б) математика (10!/(2!*2!*3!)); в) метаморфоза (11!/(2!*2!*2!).
152. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4,5,6,7 см? (C43)
153. Сколько можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины рёбер которых выражены натуральными числами от 1 до 100.
Решение. Параллелепипед имеет 3 измерения — a, b, c. Тогда n = C103
154. а) Сколькими способами 9 пассажиров можно разместить по 3 вагонам? (A39)
б) сколько способов для размещения в первый вагон 3 пассажира. (C93 * A36)
в) сколько размещений в каждый вагон по 3 человека? (C93 * C63 * 3!)
г) Сколько способов для размещения в 1 вагон — 4 пассажира, во 2 вагон — 3 пассажира, в третий — 2 пассажира. (C94 * C53 * 3!)
155. Сократить дробь.
а) n!/(n+1)!; б) n!(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)!; г) n!/(n-k)!
а) (P5 + P4)/P3; б) (P10 — P9)/9P8; в) P3k/P3k-2
158. Решить уравнение: (n+1)!/(n-1)! = 30
159. Вычислите: C84; C76; C62 + C60; C271; C19991999 + C19991;
160. Решить уравнение:
а) Cx19 = Cx6; б) C278 + C277 = C28x; в) C239 + C23x = C249
161. Решить уравнение:
а) Cx2 = 153; б) Cx+23 = 8(x+1); в) Cxx-2 = 45; г) Cx+12/ Cx3 = 4/5 д) 3C2xx+1 = 2C2x+1x-1
е) 11C2xx = 6C2x+1x+1;
162. Вычислить а) (A154 + A145)/A153; б) A124 * P7/A119
164. Упростить: а) 1/k! — 1/(k+1)!; б) (n-2)!/n! — n!/(n+1)!;
165. Вычислить: а) (P6 + P6)/P4; б) (P12 — P11)/11P10; в) P3k+2/P3k+1;
166. Решить уравнение:
а) (n+2)!/n! = 72; б) Cx15 = Cx6; в) C307 + C306 = C31x; г) C198 + C19x = C208; д) Cx2 = 120;
е) Cx+23 = 7(x+2); ж) Cxx-2 = 66; з) Cx+13/Cx4 = 6/5; и) 17C2x-1x = 9C2xx-1;
к) 13C2xx+1 = 7C2x+1x-1
167. Вычислить: а) A133/(A144 — A134); б) A1512/(A163 * P12)
168. Решить уравнение: а) Ax2 = 42; б) Ax2 = 182; в) Ax-12 — Сx1 = 79; г) 3Сx+12 + 2x = 4Ax2 д) Ax-22 + Сxx-2 = 101;
Размещено на Allbest.ru
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
